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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={−2,−1,3,4}A = \{-2, -1, 3, 4\}，B={−1,2,3}B = \{-1, 2, 3\}，则 A∩B=‾A \cap B =\underline{\hspace{2em}}.

2014 · 江苏 · 第 1 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
已知复数 z=(5+2i)2z = (5 + 2\mathrm{i})^2（i\mathrm{i} 为虚数单位），则 zz 的实部为______.

2014 · 江苏 · 第 2 题 · 填空题

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03数列★★☆☆☆
如图是一个算法流程图，则输出的 nn 的值是______.

2014 · 江苏 · 第 3 题 · 填空题

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04概率与统计★☆☆☆☆
从 11，22，33，66 这 44 个数中一次随机地取 22 个数，则所取 22 个数的乘积为 66 的概率是______.

2014 · 江苏 · 第 4 题 · 填空题

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05三角函数★★☆☆☆
已知函数 y=cos⁡xy = \cos x 与 y=sin⁡(2x+φ)y = \sin (2x + \varphi) （0⩽φ<π0 \leqslant \varphi < \pi），它们的图象有一个横坐标为 π3\frac{\pi}{3} 的交点，则 φ\varphi 的值是______.

2014 · 江苏 · 第 5 题 · 填空题

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06概率与统计★☆☆☆☆
为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 6060 株树木的底部周长（单位：cm\mathrm{cm}），所得数据均在区间 [80,130][80,130] 上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 6060 株树木中，有______ 株树木的底部周长小于 100 cm100 \mathrm{~cm}.

2014 · 江苏 · 第 6 题 · 填空题

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07数列★★☆☆☆
在各项均为正数的等比数列 {an}\{a_{n}\} 中，若 a2=1a_{2} = 1，a8=a6+2a4a_{8} = a_{6} + 2a_{4}，则 a6a_{6} 的值是______.

2014 · 江苏 · 第 7 题 · 填空题

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08立体几何初步★★☆☆☆
设甲，乙两个圆柱的底面积分别为 S1S_{1}，S2S_{2}，体积分别为 V1V_{1}，V2V_{2}，若它们的侧面积相等，且 S1S2=94\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{9}{4}，则 V1V2\frac{V_{1}}{V_{2}} 的值是______.

2014 · 江苏 · 第 8 题 · 填空题

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09解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，直线 x+2y−3=0x + 2y - 3 = 0 被圆 (x−2)2+(y+1)2=4(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4 截得的弦长为______.

2014 · 江苏 · 第 9 题 · 填空题

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10不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2+mx−1f(x) = x^2 + mx - 1，若对于任意 x∈[m,m+1]x \in [m, m + 1]，都有 f(x)<0f(x) < 0 成立，则实数 mm 的取值范围是______.

2014 · 江苏 · 第 10 题 · 填空题

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11导数及其应用★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，若曲线 y=ax2+bxy = ax^2 + \frac{b}{x}（aa，bb 为常数）过点 P(2,−5)P(2, -5)，且该曲线在点 PP 处的切线与直线 7x+2y+3=07x + 2y + 3 = 0 平行，则 a+ba + b 的值是______.

2014 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★★☆☆
如图，在平行四边形 ABCDABCD 中，已知 AB=8AB = 8，AD=5AD = 5，CP→=3PD→\overrightarrow{CP} = 3\overrightarrow{PD}，AP→⋅BP→=2\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 2，则 AB→⋅AD→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} 的值是______.

2014 · 江苏 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上且周期为 3 的函数，当 x∈[0,3)x \in [0,3) 时，f(x)=∣x2−2x+12∣f(x) = \left|x^2 - 2x + \frac{1}{2}\right|，若函数 y=f(x)−ay = f(x) - a 在区间 [−3,4][-3,4] 上有 10 个零点（互不相同），则实数 aa 的取值范围是______.

2014 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★★★☆
若 △ABC\triangle ABC 的内角满足 sin⁡A+2sin⁡B=2sin⁡C\sin A + \sqrt{2}\sin B = 2\sin C，则 cos⁡C\cos C 的最小值是______.

2014 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
已知 α∈(π2,π)\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，sin⁡α=55\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}.
(1) 求 sin⁡(π4+α)\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) 的值； (2) 求 cos⁡(56π−2α)\cos\left(\frac{5}{6}\pi - 2\alpha\right) 的值.

2014 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，DD，EE，FF 分别为棱 PCPC，ACAC，ABAB 的中点. 已知 PA⊥ACPA \perp AC，PA=6PA = 6，BC=8BC = 8，DF=5DF = 5.
(1) 求证：直线 PA∥PA \parallel 平面 DEFDEF； (2) 平面 BDE⊥BDE \perp 平面 ABCABC.

2014 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

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17解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，F1F_{1}，F2F_{2} 分别是椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点. 顶点 BB 的坐标为 (0,b)(0, b). 连接 BF2BF_{2} 并延长交椭圆于点 AA，过点 AA 作 xx 轴的垂线交椭圆于另一点 CC，连接 F1CF_{1}C.
(1) 若点 CC 的坐标为 (43,13)\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)，且 BF2=2B F_{2} = \sqrt{2}，求椭圆的方程； (2) 若 F1C⊥ABF_{1}C \perp AB，求椭圆离心率 ee 的值.

2014 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
如图，为了保护河上古桥 OAOA，规划建一座新桥 BCBC，同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥 BCBC 与河岸 ABAB 垂直；保护区的边界为圆心 MM 在线段 OAOA 上并与 BCBC 相切的圆，且古桥两端 OO 和 AA 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m80 \mathrm{~m}. 经测量，点 AA 位于点 OO 正北方向 60 m60 \mathrm{~m} 处，点 CC 位于点 OO 正东方向 170 m170 \mathrm{~m} 处 （OCOC 为河岸）， tan⁡∠BCO=43\tan \angle BCO = \frac{4}{3}.
(1) 求新桥 BCBC 的长； (2) 当 OMOM 多长时，圆形保护区的面积最大？

2014 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+e−xf(x) = \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}，其中 e\mathrm{e} 是自然对数的底数.
(1) 证明： f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上的偶函数； (2) 若关于 xx 的不等式 mf(x)⩽e−x+m−1m f(x) \leqslant \mathrm{e}^{-x} + m - 1 在 (0,+∞)(0, +\infty) 上恒成立，求实数 mm 的取值范围； (3) 已知正数 aa 满足：存在 x0∈[1,+∞)x_0 \in [1, +\infty)，使得 f(x0)<a(−x03+3x0)f(x_0) < a(-x_0^3 + 3x_0) 成立. 试比较 ea−1\mathrm{e}^{a - 1} 与 ae−1a^{\mathrm{e} - 1} 的大小，并证明你的结论.

2014 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 若对任意正整数 nn，总存在正整数 mm，使得 Sn=amS_{n} = a_{m}，则称 {an}\{a_{n}\} 是“HH 数列”.
(1) 若数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=2nS_{n}=2^{n}（n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}），证明： {an}\{a_{n}\} 是“HH 数列”； (2) 设{an}\{a_{n}\} 是等差数列，其首项 a1=1a_{1} = 1，公差 d<0d < 0. 若 {an}\{a_{n}\} 是“HH 数列”，求 dd 的值； (3) 证明：对任意的等差数列 {an}\{a_{n}\}，总存在两个“HH 数列” {bn}\{b_{n}\} 和 {cn}\{c_{n}\}，使得 an=bn+cna_{n} = b_{n} + c_{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）成立.

2014 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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21不等式★★★☆☆
已知 x>0x > 0，y>0y > 0，证明： (1+x+y2)(1+x2+y)⩾9xy(1 + x + y^2)(1 + x^2 + y) \geqslant 9xy.

2014 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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21平面向量★☆☆☆☆
已知矩阵
A=[−121x]A=\begin{bmatrix}-1&2\\1&x\end{bmatrix}
，
B=[112−1]B=\begin{bmatrix}1&1\\2&-1\end{bmatrix}
，向量
α=[2y]\alpha=\begin{bmatrix}2\\y\end{bmatrix}
，xx，yy 为实数，若 Aα=BαA\alpha=B\alpha，求 x+yx+y 的值.

2014 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知直线 ll 的参数方程为
{x=1−22t,y=2+22t,\begin{cases} x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} t,\\ y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t, \end{cases}
（tt 为参数），直线 ll 与抛物线 y2=4xy^2 = 4x 交于 AA，BB 两点，求线段 ABAB 的长.

2014 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21立体几何初步★★☆☆☆
如图，ABAB 是圆 OO 的直径，CC，DD 是圆 OO 上位于 ABAB 异侧的两点，证明： ∠OCB=∠D\angle OCB = \angle D.

2014 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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22概率与统计★★★☆☆
盒中共有 99 个球，其中有 44 个红球，33 个黄球和 22 个绿球，这些球除颜色外完全相同.
(1) 从盒中一次随机取出 22 个球，求取出的 22 个球颜色相同的概率 PP； (2) 从盒中一次随机取出 44 个球，其中红球，黄球，绿球的个数分别记为 x1x_1，x2x_2，x3x_3，随机变量 XX 表示 x1x_1，x2x_2，x3x_3 中的最大数，求 XX 的概率分布和数学期望 E(X)E(X).

2014 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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