如图，用四种不同颜色给图中的 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$ 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）

\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 由图可知，上方三角形为 $\triangle ADE$，下方三角形为 $\triangle BCF$，并且对应竖直线段为 $AB$，$DC$，$EF$. 先给 $A$，$D$，$E$ 涂色，有 种方法.

固定 $A$，$D$，$E$ 的颜色分别为 $1$，$2$，$3$，记第4种颜色为 $4$. 下面按 $B$ 的颜色分类计数. $B$ 不能取颜色 $1$. 当 $B=2$ 时，$C$ 可取 $1$，$3$，$4$：若 $C=1$，则 $F$ 有1种取法；若 $C=3$，则 $F$ 有2种取法；若 $C=4$，则 $F$ 有1种取法，共4种. 当 $B=3$ 时，$C$ 可取 $1,4$，对应的 $F$ 各有2种取法，共4种. 当 $B=4$ 时，$C$ 可取 $1,3$，对应的 $F$ 分别有1种、2种取法，共3种. 因而固定上方三点颜色后，下方三点有 种涂法. 故总涂色方法数为 $24\cdot11=264$，选 B. \end{solution}

设函数 $f(x) = x^2 - 1$，对任意 $x \in \left[\frac{3}{2}, +\infty\right)$，$f\left(\frac{x}{m}\right) - 4m^2f(x) \leqslant f(x - 1) + 4f(m)$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是______. \begin{answer} $\left(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\cup\left[\frac{\sqrt{3}}{2},+\infty\right)$ \end{answer} \begin{solution} 因题中含有 $f(\frac{x}{m})$，必须有 $m\ne0$. 将 $f(x)=x^2-1$ 代入不等式并移项，得 $Q_m(x):=\left(\frac1{m^2}-4m^2-1\right)x^2+2x+3\le0$，$x\ge\frac32$. 记 $A_m=\dfrac1{m^2}-4m^2-1$. 若 $A_m\ge0$，则 $Q_m(x)$ 在充分大的 $x$ 处为正，不可能恒成立. 设 $A_m<0$. 若二次函数顶点 $-\frac{1}{A_m}\ge\frac{3}{2}$，则其在定义区间内的最大值为 仍不可能恒成立. 所以顶点必须在区间左侧. 此时对 $x\ge\frac{3}{2}$ 有 $Q_m'(x)=2A_mx+2<0$，故 $Q_m$ 在该区间上递减，只需令端点处的最大值不大于零： $Q_m\left(\frac32\right)=\frac94A_m+6\le0$，$A_m\le-\frac83$. 于是 令 $t=m^2>0$，乘以正数 $3t$ 得 该二次式的根为 $-\dfrac13$，$\dfrac34$，故 $t\ge\dfrac34$，即 所以 $m$ 的取值范围为 \end{solution}

如图，在长方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$E$，$F$ 分别是棱 $BC$，$CC_{1}$ 上的点，$CF = AB = 2CE$，$AB:AD:AA_{1} = 1:2:4$.

(1) 求异面直线 $EF$ 与 $A_{1}D$ 所成角的余弦值； (2) 证明 $AF \perp$ 平面 $A_{1}ED$； (3) 求二面角 $A_{1} - ED - F$ 的正弦值.

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为 4.

(1) 求椭圆的方程； (2) 设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $A$，$B$. 已知点 $A$ 的坐标为 $(-a, 0)$，点 $Q(0, y_{0})$ 在线段 $AB$ 的垂直平分线上，且 $\overrightarrow{QA} \cdot \overrightarrow{QB} = 4$. 求 $y_{0}$ 的值.

已知函数 $f(x) = x\mathrm{e}^{-x}$（$x \in \mathbf{R}$）.

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间和极值； (2) 已知函数 $y = g(x)$ 的图象与函数 $y = f(x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称. 证明：当 $x > 1$ 时，$f(x) > g(x)$； (3) 如果 $x_{1} \neq x_{2}$，且 $f(x_{1}) = f(x_{2})$，证明：$x_{1} + x_{2} > 2$.