如图，$P$ 是边长为 $1$ 的正六边形 $ABCDEF$ 所在平面外一点，$PA = 1$，$P$ 在平面 $ABC$ 内的射影为 $BF$ 的中点 $O$.

(1) 证明：$PA \perp BF$； (2) 求面 $APB$ 与面 $DPB$ 所成二面角的大小.

数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$. 已知 $a_{1} = \frac{1}{2}$，$S_{n} = n^{2}a_{n} - n(n - 1)$，$n = 1$，$2$，$\dots$.

(1) 写出 $S_{n}$ 与 $S_{n-1}$ 的递推关系式（$n \geqslant 2$）. 并求 $S_{n}$ 关于 $n$ 的表达式； (2) 设 $f_n(x) = \frac{S_n}{n} x^{n+1}$，$b_n = f_n'(p)$（$p \in \mathbf{R}$），求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.