如图，$AB$ 与 $CD$ 相交于点 $E$，过 $E$ 作 $BC$ 的平行线与 $AD$ 的延长线交于点 $P$，已知 $\angle A = \angle C$，$PD = 2DA = 2$，则 $PE =\underline{\hspace{2em}}$.

已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x}$，$x \in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f(x)$ 的反函数的图象上点 $(1,0)$ 处的切线方程. (2) 证明：曲线 $y = f(x)$ 与曲线 $y = \frac{1}{2} x^2 + x + 1$ 有唯一公共点. (3) 设 $a < b$，比较 $f\left(\frac{a + b}{2}\right)$ 与 $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ 的大小，并说明理由.