如图，已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $2$，点 $E$ 是正方形 $BCC_1B_1$ 的中心，点 $F$，$G$ 分别是棱 $C_1D_1$，$AA_1$ 的中点. 设点 $E_1$，$G_1$ 分别是点 $E$，$G$ 在平面 $DCC_1D_1$ 内的正投影.

(1) 求以 $E$ 为顶点，以四边形 $FGAE$ 在平面 $DCC_1D_1$ 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； (2) 证明：直线 $FG_1\perp$ 平面 $FEE_1$； (3) 求异面直线 $E_1G_1$ 与 $EA$ 所成角的正弦值.