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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U=RU = \mathbf{R}，集合 M={x∣−2⩽x−1⩽2}M = \{x \mid -2 \leqslant x - 1 \leqslant 2\} 和 N={x∣x=2k−1,k=1,2,⋯ }N = \{x \mid x = 2k - 1, k = 1, 2, \cdots\} 的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A.
3 个3\text{ 个}
B.
2 个2\text{ 个}
C.
1 个1\text{ 个}
D.
无穷个\text{无穷个}

2009 · 广东 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
设 zz 是复数，α(z)\alpha(z) 表示满足 zn=1z^n = 1 的最小正整数 nn，则对虚数单位 i\mathrm{i}，α(i)=\alpha(\mathrm{i}) =（ ）
A.
88
B.
66
C.
44
D.
22

2009 · 广东 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
若函数 y=f(x)y = f(x) 是函数 y=axy = a^x（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的反函数，其图象经过点 (a,a)(\sqrt{a}, a)，则 f(x)=f(x) =（ ）
A.
log⁡2x\log_2 x
B.
log⁡12x\log_{\frac{1}{2}}x
C.
12x\frac{1}{2^x}
D.
x2x^{2}

2009 · 广东 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★★☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 满足 an>0a_n > 0，n=1n = 1，22，⋯\cdots，且 a5⋅a2n−5=22na_5 \cdot a_{2n-5} = 2^{2n}（n⩾3n \geqslant 3），则当 n⩾1n \geqslant 1 时，log⁡2a1+log⁡2a3+⋯+log⁡2a2n−1=\log_2 a_1 + \log_2 a_3 + \cdots + \log_2 a_{2n-1} =（ ）
A.
n(2n−1)n(2n - 1)
B.
(n+1)2(n + 1)^{2}
C.
n2n^{2}
D.
(n−1)2(n - 1)^{2}

2009 · 广东 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
给定下列四个命题：
① 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ② 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④ 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，为真命题的是（ ）
A.
11和22
B.
22和33
C.
33和44
D.
22和44

2009 · 广东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
一质点受到平面上的三个力 F1F_1，F2F_2，F3F_3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态. 已知 F1F_1，F2F_2 成 60∘60^{\circ} 角，且 F1F_1，F2F_2 的大小分别为 22 和 44，则 F3F_3 的大小为（ ）
A.
66
B.
22
C.
252\sqrt{5}
D.
272\sqrt{7}

2009 · 广东 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★★☆☆
2010年广州亚运会组委会要从小张，小赵，小李，小罗，小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译，导游，礼仪，司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A.
36 种36\text{ 种}
B.
12 种12\text{ 种}
C.
18 种18\text{ 种}
D.
48 种48\text{ 种}

2009 · 广东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
已知甲，乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶. 甲车，乙车的速度曲线分别为 v甲v_{\text{甲}} 和 v乙v_{\text{乙}}（如图所示）. 那么对于图中给定的 t0t_0 和 t1t_1，下列判断中一定正确的是（ ）
A.
在 t1t_1 时刻，甲车在乙车前面
B.
t1t_1 时刻后，甲车在乙车后面
C.
在 t0t_0 时刻，两车的位置相同
D.
t0t_0 时刻后，乙车在甲车前面

2009 · 广东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09概率与统计★★☆☆☆
随机抽取某产品 nn 件，测得其长度分别为 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n，则如图所示的程序框图输出的 s=‾s =\underline{\hspace{2em}}，ss 表示的样本的数字特征是______. （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或 :=\text{:=}）

2009 · 广东 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10平面向量★☆☆☆☆
若平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a+b∣=1|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = 1，a+b\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} 平行于 xx 轴，b=(2,−1)\boldsymbol{b} = (2, -1)，则 a=\boldsymbol{a} =______.

2009 · 广东 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
已知椭圆 GG 的中心在坐标原点，长轴在 xx 轴上，离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，且 GG 上一点到 GG 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 GG 的方程为______.

2009 · 广东 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★★★☆☆
已知离散型随机变量 XX 的分布列如下表.
若 E(X)=0E(X) = 0，D(X)=1D(X) = 1，则 a=a =______，b=b =______.

2009 · 广东 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
若直线
l1:{x=1−2t,y=2+kt,l_1:\begin{cases} x&=1-2t,\\ y&=2+kt, \end{cases}
（tt 为参数）与直线
l2:{x=s,y=1−2s,l_2:\begin{cases} x&=s,\\ y&=1-2s, \end{cases}
（ss 为参数）垂直，则 k=k =______.

2009 · 广东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
不等式 ∣x+1∣∣x+2∣⩾1\dfrac{|x+1|}{|x+2|}\geqslant 1 的实数解为______.

2009 · 广东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★☆☆☆☆
如图，点 AA，BB，CC 是圆 OO 上的点，且 AB=4AB = 4，∠ACB=45∘\angle ACB = 45^{\circ}，则圆 OO 的面积等于______.

2009 · 广东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(sin⁡θ,−2)\boldsymbol{a} = (\sin \theta, -2) 与 b=(1,cos⁡θ)\boldsymbol{b} = (1, \cos \theta) 互相垂直，其中 θ∈(0,π2)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right).
(1) 求 sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta 的值； (2) 若 sin⁡(θ−φ)=1010\sin(\theta-\varphi)=\frac{\sqrt{10}}{10}，0<φ<π20<\varphi<\frac{\pi}{2}，求 cos⁡φ\cos\varphi 的值.

2009 · 广东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
根据空气质量指数 API\mathrm{API}（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
对某城市一年（365 天365\text{ 天}）的空气质量进行监测，获得 API\mathrm{API} 数据按照区间 [0,50][0, 50]，(50,100](50, 100]，(100,150](100, 150]，(150,200](150, 200]，(200,250](200, 250]，(250,300](250, 300] 进行分组，得到频率分布直方图如图.
(1) 求直方图中 xx 的值； (2) 计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数； (3) 求该城市某一周至少有 22 天的空气质量为良或轻微污染的概率. （结果用分数表示.
已知 57=781255^7 = 78125，27=1282^7 = 128，31825+2365+71825+31825+89125=1239125\frac{3}{1825} + \frac{2}{365} + \frac{7}{1825} + \frac{3}{1825} + \frac{8}{9125} = \frac{123}{9125}，365=73×5365 = 73 \times 5）
=0pt =0pt

2009 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，已知正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 22，点 EE 是正方形 BCC1B1BCC_1B_1 的中心，点 FF，GG 分别是棱 C1D1C_1D_1，AA1AA_1 的中点. 设点 E1E_1，G1G_1 分别是点 EE，GG 在平面 DCC1D1DCC_1D_1 内的正投影.
(1) 求以 EE 为顶点，以四边形 FGAEFGAE 在平面 DCC1D1DCC_1D_1 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； (2) 证明：直线 FG1⊥FG_1\perp 平面 FEE1FEE_1； (3) 求异面直线 E1G1E_1G_1 与 EAEA 所成角的正弦值.

2009 · 广东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知二次函数 y=g(x)y = g(x) 的导函数的图象与直线 y=2xy = 2x 平行，且 y=g(x)y = g(x) 在 x=−1x = -1 处取得极小值 m−1m - 1（m≠0m \neq 0）. 设 f(x)=g(x)xf(x) = \frac{g(x)}{x}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 上的点 PP 到点 Q(0,2)Q(0, 2) 的距离的最小值为 2\sqrt{2}，求 mm 的值； (2) kk（k∈Rk \in \mathbf{R}）如何取值时，函数 y=f(x)−kxy = f(x) - kx 存在零点，并求出零点.

2009 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知曲线 C:y=x2C: y = x^2 与直线 l:x−y+2=0l: x - y + 2 = 0 交于两点 A(xA,yA)A(x_A, y_A) 和 B(xB,yB)B(x_B, y_B)，且 xA<xBx_A < x_B. 记曲线 CC 在点 AA 和点 BB 之间那一段 LL 与线段 ABAB 所围成的平面区域（含边界）为 DD. 设点 P(s,t)P(s, t) 是 LL 上的任一点，且点 PP 与点 AA 和点 BB 均不重合.
(1) 若点 QQ 是线段 ABAB 的中点，试求线段 PQPQ 的中点 MM 的轨迹方程； (2) 若曲线 G:x2−2ax+y2−4y+a2+5125=0G: x^{2} - 2ax + y^{2} - 4y + a^{2} + \frac{51}{25} = 0 与 DD 有公共点，试求 aa 的最小值.

2009 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知曲线 Cn:x2−2nx+y2=0C_n: x^2 - 2nx + y^2 = 0（n=1n = 1，22，⋯\cdots）. 从点 P(−1,0)P(-1,0) 向曲线 CnC_n 引斜率为 knk_n（kn>0k_n > 0）的切线 lnl_n，切点为 Pn(xn,yn)P_n(x_n, y_n).
(1) 求数列 {xn}\{x_n\} 与 {yn}\{y_n\} 的通项公式； (2) 证明：x1⋅x3⋅x5⋅⋯⋅x2n−1<1−xn1+xn<2sin⁡xnynx_1 \cdot x_3 \cdot x_5 \cdot \cdots \cdot x_{2n-1} < \sqrt{\frac{1 - x_n}{1 + x_n}} < \sqrt2\sin \frac{x_n}{y_n}.

2009 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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