函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的图象关于直线 $x = -\frac{b}{2a}$ 对称. 据此可推测，对任意的非零实数 $a$，$b$，$c$，$m$，$n$，$p$，关于 $x$ 的方程 $m[f(x)]^2 + nf(x) + p = 0$ 的解集都不可能是（ ）

\begin{solution} 二次函数图象关于直线$x=-\frac{b}{2a}$对称，所以对任意使$f(x)$有定义的$x$，关于该直线对称的点 $x'=-\frac{b}{a}-x$满足$f(x')=f(x)$.因此方程 $m[f(x)]^2+nf(x)+p=0$的解集必须关于同一条竖直直线对称：方程先确定至多两个$f(x)$的取值，而每个取值的原像关于抛物线的对称轴成对出现.

集合$\{1,2\}$、$\{1,4\}$分别关于$x=\frac{3}{2}$、$x=\frac{5}{2}$对称，集合$\{1,2,3,4\}$关于$x=\frac{5}{2}$对称，均不违反这个必要条件.它们确实可以实现. 对于集合$\{1,2\}$，取$f(x)=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+1$，并令关于$y$的二次方程为$(y-\tfrac{5}{4})(y+1)=0$；对于集合$\{1,4\}$，取$f(x)=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+1$，并令关于$y$的二次方程为$(y-\tfrac{13}{4})(y+1)=0$；对于集合$\{1,2,3,4\}$，取$f(x)=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2$，并令关于$y$的二次方程为$(y-\tfrac{9}{4})(y-\tfrac{1}{4})=0$. 前三个例子展开后$a$，$b$，$c$，$m$，$n$，$p$均非零.第一个方程的解集为$\{1,2\}$，第二个方程的解集为$\{1,4\}$，第三个方程的解集为$\{1,2,3,4\}$.而$\{1,4,16,64\}$中，若关于同一条竖直直线成对对称，则应有$1+64=4+16$，但$65\neq20$，故该集合不可能是解集.因此不可能的是 D. \end{solution}

五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

① 第一位同学首次报出的数为 $1$，第二位同学首次报出的数也为 $1$，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ② 若报出的数为 $3$ 的倍数，则报该数的同学需拍手一次.

已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第$100$个数时，甲同学拍手的总次数为______.

\begin{solution} 记第$n$个报出的数为$F_n$，则$F_1=F_2=1$，且$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$.模$3$计算得到 $F_1$，$F_2$，$\ldots$，$F_8\equiv1$，$1$，$2$，$0$，$2$，$2$，$1$，$0\pmod{3}$ 又 $F_9\equiv F_1$，$F_{10}\equiv F_2\pmod{3}$，递推关系相同，所以之后以$8$为周期.因此$F_n$是$3$的倍数当且仅当$n\equiv0$或$4\pmod{8}$.

甲同学第一次报第$1$个数，五人循环，所以甲报数的序号为$n=1+5k$.报到第$100$个数时$0\leqslant k\leqslant19$.条件 $1+5k\equiv0$或$4\pmod{8}$分别给出$k\equiv3$或$7\pmod{8}$.在$0\leqslant k\leqslant19$中，这些$k$为$3$，$7$，$11$，$15$，$19$，共$5$个.因此甲同学拍手$5$次. \end{solution}

已知 $A$，$B$ 分别为曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1$（$y \geqslant 0$，$a > 0$）与 $x$ 轴的左，右两个交点，直线 $l$ 过点 $B$，且与 $x$ 轴垂直，$S$ 为 $l$ 上异于点 $B$ 的一点，连结 $AS$ 交曲线 $C$ 于点 $T$.

(1) 若曲线 $C$ 为半圆，点 $T$ 为圆弧 $\widehat{AB}$ 的三等分点，试求出点 $S$ 的坐标； (2) 如图，点 $M$ 是以 $SB$ 为直径的圆与线段 $TB$ 的交点. 试问：是否存在 $a$，使得 $O$，$M$，$S$ 三点共线？若存在，求出 $a$ 的值，若不存在，请说明理由.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当$C$为半圆时$a=1$，故$A=(-1,0)$，$B=(1,0)$.圆弧$AB$的两个三等分点为$T_1\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$和$T_2\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

直线$AT_1$的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，代入$x=1$得$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；直线$AT_2$的斜率为$\sqrt{3}$，代入$x=1$得$y=2\sqrt{3}$.因此

\item 设$S=(a,s)$.由于第二个交点$T$在$y\geqslant0$的上半椭圆上，且$S\neq B$，故取$s>0$.令直线$AS$上的点为$(x,y)=(-a+2au,su)$.代入椭圆方程，除去对应于$A$的根$u=0$，得到 $(-1+2u)^2+s^2u^2=1$，$\Longrightarrow$，$u=\frac{4}{4+s^2}$， 所以 圆$SB$以$SB$为直径，其方程为$(x-a)^2+y^2-sy=0$.若$O$，$M$，$S$共线，设$M=\lambda S=(\lambda a,\lambda s)$.由于$M$在$TB$上而$S$不在$TB$上，故$\lambda\neq1$.由$\angle SMB=90^{\circ}$得 由于$\lambda\neq1$，所以 从而$\lambda=\frac{a^2}{a^2+s^2}$，即 另一方面，由上式中$T$的坐标，直线$BT$的斜率为$\frac{y_T}{x_T-a}=-\frac{2}{as}$；而$BM$的斜率为$-\frac{a}{s}$.要使$B$，$T$，$M$共线，必须有$-\frac{a}{s}=-\frac{2}{as}$，所以$a^2=2$.因为$a>0$，得到$a=\sqrt{2}$.此时 $M-B=\frac{4+s^2}{2(2+s^2)}(T-B)$，$0<\frac{4+s^2}{2(2+s^2)}<1$， 故$M$确在线段$TB$上，所求值存在. \end{enumerate} \end{solution}