如图 1，在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$BC=3$，$AC=6$. $D$，$E$ 分别是 $AC$，$AB$ 上的点，且 $DE\parallel BC$，$DE=2$，将 $\triangle ADE$ 沿 $DE$ 折起到 $\triangle A_1DE$ 的位置，使 $A_1C \perp CD$，如图 2.

(1) 求证：$A_1C \perp$ 平面 $BCDE$； (2) 若 $M$ 是 $A_1D$ 的中点，求 $CM$ 与平面 $A_1BE$ 所成角的大小； (3) 线段 $BC$ 上是否存在点 $P$，使平面 $A_1DP$ 与平面 $A_1BE$ 垂直？说明理由.

已知函数 $f(x)=ax^2+1$（$a>0$），$g(x)=x^3+bx$.

(1) 若曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=g(x)$ 在它们的交点 $(1,c)$ 处具有公共切线，求 $a$，$b$ 的值； (2) 当 $a^2=4b$ 时，求函数 $f(x)+g(x)$ 的单调区间，并求其在区间 $(-\infty,-1]$ 上的最大值.

已知曲线 $C:(5-m)x^2+(m-2)y^2=8$（$m\in\mathbf{R}$）.

(1) 若曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆，求 $m$ 的取值范围； (2) 设 $m=4$，曲线 $C$ 与 $y$ 轴的交点为 $A$，$B$（点 $A$ 位于点 $B$ 的上方），直线 $y=kx+4$ 与曲线 $C$ 交于不同的两点 $M$，$N$，直线 $y=1$ 与直线 $BM$ 交于点 $G$. 求证：$A$，$G$，$N$ 三点共线.