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16函数与初等函数★★★★☆
f(x)f(x) 是定义在区间 [−c,c][-c, c] 上的奇函数，其图象如图所示：令 g(x)=af(x)+bg(x) = af(x) + b，则下列关于函数 g(x)g(x) 的叙述正确的是（ ）
A.
若 a<0a < 0，则函数 g(x)g(x) 的图象关于原点对称
B.
若 a=−1a = -1，−2<b<0-2 < b < 0，则方程 g(x)=0g(x) = 0 有大于 2 的实根
C.
若 a≠0a \neq 0，b=2b = 2，则方程 g(x)=0g(x) = 0 有两个实根
D.
若 a⩾1a \geqslant 1，b<2b < 2，则方程 g(x)=0g(x) = 0 有三个实根

2003 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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20解析几何★★★★☆
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22 米22\text{ 米}，要求通行车辆限高 4.5 米4.5\text{ 米}，隧道全长 2.5 千米2.5\text{ 千米}，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
(1) 若最大拱高 hh 为 6 米6\text{ 米}，则隧道设计的拱宽 ll 是多少？ (2) 若最大拱高 hh 不小于 6 米6\text{ 米}，则应如何设计拱高 hh 和拱宽 ll，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？
半个椭圆的面积公式为 S=π4lhS = \frac{\pi}{4}lh，柱体体积等于底面积乘以高，结果精确到 0.1 米0.1\text{ 米}.

2003 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21平面向量★★★★☆
在以 OO 为原点的直角坐标系中，点 A(4,−3)A(4, -3) 为 △OAB\triangle OAB 的直角顶点. 已知 ∣AB∣=2∣OA∣|AB| = 2|OA|，且点 BB 的纵坐标大于零.
(1) 求向量 AB→\overrightarrow{AB} 的坐标； (2) 求圆 x2−6x+y2+2y=0x^{2} - 6x + y^{2} + 2y = 0 关于直线 OBOB 对称的圆的方程； (3) 是否存在实数 aa，使抛物线 y=ax2−1y = ax^2 - 1 上总有关于直线 OBOB 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求 aa 的取值范围.

2003 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} （nn 为正整数）是首项是 a1a_{1}，公比为 qq 的等比数列.
(1) 求和：a1C20−a2C21+a3C22a_{1}\mathrm C_{2}^{0} - a_{2}\mathrm C_{2}^{1} + a_{3}\mathrm C_{2}^{2}，a1C30−a2C31+a3C32−a4C33a_{1}\mathrm C_{3}^{0} - a_{2}\mathrm C_{3}^{1} + a_{3}\mathrm C_{3}^{2} - a_{4}\mathrm C_{3}^{3}； (2) 由前一问的结果归纳概括出关于正整数 nn 的一个结论，并加以证明； (3) 设 q≠1q \neq 1，SnS_n 是等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 求：S1Cn0−S2Cn1+S3Cn2−S4Cn3+⋯+(−1)nSn+1CnnS_1\mathrm C_n^0 - S_2\mathrm C_n^1 + S_3\mathrm C_n^2 - S_4\mathrm C_n^3 + \cdots + (-1)^n S_{n+1}\mathrm C_n^n.

2003 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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