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01三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡xcos⁡(x+π4)+cos⁡xsin⁡(x+π4)y = \sin x \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + \cos x \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) 的最小正周期 T=T =______.

2003 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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02三角函数★☆☆☆☆
若 x=π3x = \frac{\pi}{3} 是方程 2cos⁡(x+α)=12\cos (x + \alpha) = 1 的解，其中 α∈(0,2π)\alpha \in (0,2\pi)，则 α=\alpha =______.

2003 · 上海 · 文 · 第 2 题 · 填空题

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03数列★★☆☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a5=3a_{5} = 3，a6=−2a_{6} = -2，则 a4+a5+⋯+a10=a_{4} + a_{5} + \cdots + a_{10} =______.

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04解析几何★★☆☆☆
已知定点 A(0,1)A(0,1)，点 BB 在直线 x+y=0x + y = 0 上运动，当线段 ABAB 最短时，点 BB 的坐标是______.

2003 · 上海 · 文 · 第 4 题 · 填空题

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05立体几何初步★★★☆☆
在正四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为 60∘60^{\circ}，则异面直线 PAPA 与 BCBC 所成角的大小等于______.（结果用反三角函数值表示）

2003 · 上海 · 文 · 第 5 题 · 填空题

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06集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 A={x∣∣x∣<4}A = \{x \mid |x| < 4\}，B={x∣x2−4x+3>0}B = \{x \mid x^2 - 4x + 3 > 0\}，则集合 {x∣x∈A 且 x∉A∩B}=\{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin A \cap B\} =______.

2003 · 上海 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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07三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C=2:3:4\sin A: \sin B: \sin C = 2:3:4，则 ∠ABC=\angle ABC =______.（结果用反三角函数值表示）

2003 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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08数列★★☆☆☆
若首项为 a1a_{1}，公比为 qq 的等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和总小于这个数列的各项和，则首项 a1a_{1}，公比 qq 的一组取值可以是 (a1,q)=‾(a_{1}, q) =\underline{\hspace{2em}}.

2003 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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09概率与统计★★☆☆☆
某国际科研合作项目成员由 11 个美国人，4 个法国人和 5 个中国人组成，现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为______. （结果用分数表示）

2003 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
方程 x3+lg⁡x=18x^{3} + \lg x = 18 的根 x≈x \approx______.（结果精确到 0.10.1）

2003 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★★☆☆
已知点 A(0,2n)A\left(0, \frac{2}{n}\right)，B(0,−2n)B\left(0, -\frac{2}{n}\right)，C(4+2n,0)C\left(4 + \frac{2}{n}, 0\right)，其中 nn 为正整数，设 SnS_{n} 表示 △ABC\triangle ABC 外接圆的面积，则 lim⁡n→∞Sn=\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_{n} =______.

2003 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
给出问题：F1F_{1}，F2F_{2} 是双曲线 x216−y220=1\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{20} = 1 的焦点，点 PP 在双曲线上. 若点 PP 到焦点 F1F_{1} 的距离等于 9，求点 PP 到焦点 F2F_{2} 的距离. 某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 8，由 ∣PF1∣−∣PF2∣=8\left|PF_{1}\right| - \left|PF_{2}\right| = 8，即 ∣9−∣PF2∣∣=8\left|9 - \left|PF_{2}\right|\right| = 8，得 ∣PF2∣=1\left|PF_{2}\right| = 1 或 17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内______.

2003 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，既为偶函数又在 (0,π)(0, \pi) 上单调递增的是（ ）
A.
y=tan⁡∣x∣y = \tan |x|
B.
y=cos⁡(−x)y = \cos (-x)
C.
y=sin⁡(x−π2)y = \sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right)
D.
y=∣cot⁡x2∣y = \left|\cot \frac{x}{2}\right|

2003 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 选择题

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14立体几何初步★★★☆☆
在下列条件中，可判断平面 α\alpha 与 β\beta 平行的是（ ）
A.
α\alpha，β\beta 都垂直于平面 γ\gamma
B.
α\alpha 内存在不共线的三点到 β\beta 的距离相等
C.
ll，mm 是 α\alpha 内两条直线，且 l∥βl \parallel \beta，m∥βm \parallel \beta
D.
ll，mm 是两条异面直线，且 l∥αl \parallel \alpha，m∥αm \parallel \alpha，l∥βl \parallel \beta，m∥βm \parallel \beta

2003 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 选择题

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15指数函数与对数函数★★★☆☆
在 P(1,1)P(1,1)，Q(1,2)Q(1,2)，M(2,3)M(2,3) 和 N(12,14)N\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right) 四点中，函数 y=axy = a^x 的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点（ ）
A.
PP
B.
QQ
C.
MM
D.
NN

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16函数与初等函数★★★★☆
f(x)f(x) 是定义在区间 [−c,c][-c, c] 上的奇函数，其图象如图所示：令 g(x)=af(x)+bg(x) = af(x) + b，则下列关于函数 g(x)g(x) 的叙述正确的是（ ）
A.
若 a<0a < 0，则函数 g(x)g(x) 的图象关于原点对称
B.
若 a=−1a = -1，−2<b<0-2 < b < 0，则方程 g(x)=0g(x) = 0 有大于 2 的实根
C.
若 a≠0a \neq 0，b=2b = 2，则方程 g(x)=0g(x) = 0 有两个实根
D.
若 a⩾1a \geqslant 1，b<2b < 2，则方程 g(x)=0g(x) = 0 有三个实根

2003 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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17复数★★★☆☆
已知复数 z1=cos⁡θ−iz_{1} = \cos \theta - \mathrm{i}，z2=sin⁡θ+iz_{2} = \sin \theta + \mathrm{i}，求 ∣z1⋅z2∣|z_{1} \cdot z_{2}| 的最大值和最小值.

2003 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
已知平行六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，A1A⊥A_{1}A \perp 平面 ABCDABCD，AB=4AB = 4，AD=2AD = 2. 若 B1D⊥BCB_{1}D \perp BC，直线 B1DB_{1}D 与平面 ABCDABCD 所成的角等于 30∘30^{\circ}，求平行六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的体积.

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19函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=1x−log⁡21+x1−xf(x) = \frac{1}{x} - \log_2 \frac{1 + x}{1 - x}，求函数 f(x)f(x) 的定义域. 并讨论它的奇偶性和单调性.

2003 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22 米22\text{ 米}，要求通行车辆限高 4.5 米4.5\text{ 米}，隧道全长 2.5 千米2.5\text{ 千米}，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
(1) 若最大拱高 hh 为 6 米6\text{ 米}，则隧道设计的拱宽 ll 是多少？ (2) 若最大拱高 hh 不小于 6 米6\text{ 米}，则应如何设计拱高 hh 和拱宽 ll，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？
半个椭圆的面积公式为 S=π4lhS = \frac{\pi}{4}lh，柱体体积等于底面积乘以高，结果精确到 0.1 米0.1\text{ 米}.

2003 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21平面向量★★★★☆
在以 OO 为原点的直角坐标系中，点 A(4,−3)A(4, -3) 为 △OAB\triangle OAB 的直角顶点. 已知 ∣AB∣=2∣OA∣|AB| = 2|OA|，且点 BB 的纵坐标大于零.
(1) 求向量 AB→\overrightarrow{AB} 的坐标； (2) 求圆 x2−6x+y2+2y=0x^{2} - 6x + y^{2} + 2y = 0 关于直线 OBOB 对称的圆的方程； (3) 是否存在实数 aa，使抛物线 y=ax2−1y = ax^2 - 1 上总有关于直线 OBOB 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求 aa 的取值范围.

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22计数原理与组合数学★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} （nn 为正整数）是首项是 a1a_{1}，公比为 qq 的等比数列.
(1) 求和：a1C20−a2C21+a3C22a_{1}\mathrm C_{2}^{0} - a_{2}\mathrm C_{2}^{1} + a_{3}\mathrm C_{2}^{2}，a1C30−a2C31+a3C32−a4C33a_{1}\mathrm C_{3}^{0} - a_{2}\mathrm C_{3}^{1} + a_{3}\mathrm C_{3}^{2} - a_{4}\mathrm C_{3}^{3}； (2) 由前一问的结果归纳概括出关于正整数 nn 的一个结论，并加以证明； (3) 设 q≠1q \neq 1，SnS_n 是等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 求：S1Cn0−S2Cn1+S3Cn2−S4Cn3+⋯+(−1)nSn+1CnnS_1\mathrm C_n^0 - S_2\mathrm C_n^1 + S_3\mathrm C_n^2 - S_4\mathrm C_n^3 + \cdots + (-1)^n S_{n+1}\mathrm C_n^n.

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