如图，双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a$，$b > 0$）的两顶点为 $A_1$，$A_2$，虚轴两端点为 $B_1$，$B_2$，两焦点为 $F_1$，$F_2$. 若以 $A_1A_2$ 为直径的圆内切于菱形 $F_1B_1F_2B_2$，切点分别为 $A$，$B$，$C$，$D$. 则

(1) 双曲线的离心率 $e =\underline{\hspace{2em}}$； (2) 菱形 $F_{1}B_{1}F_{2}B_{2}$ 的面积 $S_{1}$ 与矩形 $ABCD$ 的面积 $S_{2}$ 的比值 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =\underline{\hspace{2em}}$.

如图 1，$\angle ACB = 45^{\circ}$，$BC = 3$，过动点 $A$ 作 $AD \perp BC$，垂足 $D$ 在线段 $BC$ 上且异于点 $B$，连接 $AB$. 沿 $AD$ 将 $\triangle ABD$ 折起，使 $\angle BDC = 90^{\circ}$（如图 2 所示）.

(1) 当 $BD$ 的长为多少时，三棱锥 $A - BCD$ 的体积最大； (2) 当三棱锥 $A - BCD$ 的体积最大时，设点 $E$，$M$ 分别为棱 $BC$，$AC$ 的中点，试在棱 $CD$ 上确定一点 $N$，使得 $EN \perp BM$，并求 $EN$ 与平面 $BMN$ 所成角的大小.