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01复数★☆☆☆☆
方程 x2+6x+13=0x^{2} + 6x + 13 = 0 的一个根是（ ）
A.
−3+2i-3 + 2\mathrm{i}
B.
3+2i3 + 2\mathrm{i}
C.
−2+3i-2 + 3\mathrm{i}
D.
2+3i2 + 3\mathrm{i}

2012 · 湖北 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
命题“∃x0∈∁RQ\exists x_0 \in \complement_{\mathbf{R}} Q，x03∈Qx_0^3 \in Q”的否定是（ ）
A.
∃x0∉∁RQ,x03∈Q\exists x_0 \notin \complement_{\mathbf{R}} Q, x_0^3 \in Q
B.
∃x0∈∁RQ\exists x_0 \in \complement_{\mathbf{R}} Q，x03∉Qx_0^3 \notin Q
C.
∀x∉∁RQ\forall x \notin \complement_{\mathbf{R}} Q，x3∈Qx^3 \in Q
D.
∀x∈∁RQ\forall x \in \complement_{\mathbf{R}} Q，x3∉Qx^3 \notin Q

2012 · 湖北 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03导数及其应用★★☆☆☆
已知二次函数 y=f(x)y = f(x) 的图象如图所示，则它与 xx 轴所围成的图形的面积为（ ）
A.
2π5\frac{2\pi}{5}
B.
43\frac{4}{3}
C.
32\frac{3}{2}
D.
π2\frac{\pi}{2}

2012 · 湖北 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
8π3\frac{8\pi}{3}
B.
3π3\pi
C.
10π3\frac{10\pi}{3}
D.
6π6\pi

2012 · 湖北 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★★☆☆
设 a∈Za \in \mathbf{Z}，且 0⩽a<130 \leqslant a < 13，若 512012+a5^{12012} + a 能被 13 整除，则 a=a =（ ）
A.
00
B.
11
C.
1111
D.
1212

2012 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★★☆☆
设 aa，bb，cc，xx，yy，zz 是正数，且 a2+b2+c2=10a^2 + b^2 + c^2 = 10，x2+y2+z2=40x^2 + y^2 + z^2 = 40，ax+by+cz=20ax + by + cz = 20，则 a+b+cx+y+z=\frac{a + b + c}{x + y + z} =（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
13\frac{1}{3}
C.
12\frac{1}{2}
D.
34\frac{3}{4}

2012 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
定义在 (−∞,0)∪(0,+∞)(- \infty, 0) \cup (0, +\infty) 上的函数 f(x)f(x)，如果对于任意给定的等比数列 {an}\{a_n\}，{f(an)}\{f(a_n)\} 仍是等比数列，则称 f(x)f(x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (−∞,0)∪(0,+∞)(- \infty, 0) \cup (0, +\infty) 上的如下函数：
① f(x)=x2f(x)=x^{2}； ② f(x)=2xf(x)=2^{x}； ③ f(x)=∣x∣f(x)=\sqrt{|x|}； ④ f(x)=ln⁡∣x∣f(x)=\ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的 f(x)f(x) 的序号为（ ）
A.
①②
B.
③④
C.
①③
D.
②④

2012 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08概率与统计★★★☆☆
如图，在圆心角为直角的扇形 OABOAB 中，分别以 OAOA，OBOB 为直径作两个半圆. 在扇形 OABOAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A.
1−2π1 - \frac{2}{\pi}
B.
12−1π\frac{1}{2} -\frac{1}{\pi}
C.
2π\frac{2}{\pi}
D.
1π\frac{1}{\pi}

2012 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=xcos⁡x2f(x) = x\cos x^2 在区间 [0,4][0, 4] 上的零点个数为（ ）
A.
44
B.
55
C.
66
D.
77

2012 · 湖北 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 VV，求其直径 dd 的一个近似公式 d≈169V3d \approx \sqrt[3]{\frac{16}{9} V}. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据 π=3.14159⋯\pi = 3.14159 \cdots 判断，下列近似公式中最精确的是（ ）
A.
d≈169V3d \approx \sqrt[3]{\frac{16}{9} V}
B.
d≈2V3d \approx \sqrt[3]{2V}
C.
d≈300157V3d \approx \sqrt[3]{\frac{300}{157}V}
D.
d≈2111V3d \approx \sqrt[3]{\frac{21}{11}V}

2012 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★☆☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 若 (a+b−c)(a+b+c)=ab(a + b - c)(a + b + c) = ab，则 C=‾C =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，
输出的结果是______.

2012 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数. 如 2222，121121，34433443，9424994249 等. 显然 22 位回文数有 99 个：1111，2222，3333，…，9999；33 位回文数有 9090 个：101101，111111，121121，…，191191，202202，…，999999.
(1) 4 位回文数有______ 个； (2) 2n+12n+1（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）位回文数有______ 个.

2012 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★★☆
如图，双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（aa，b>0b > 0）的两顶点为 A1A_1，A2A_2，虚轴两端点为 B1B_1，B2B_2，两焦点为 F1F_1，F2F_2. 若以 A1A2A_1A_2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2F_1B_1F_2B_2，切点分别为 AA，BB，CC，DD. 则
(1) 双曲线的离心率 e=‾e =\underline{\hspace{2em}}； (2) 菱形 F1B1F2B2F_{1}B_{1}F_{2}B_{2} 的面积 S1S_{1} 与矩形 ABCDABCD 的面积 S2S_{2} 的比值 S1S2=‾\frac{S_{1}}{S_{2}} =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，点 DD 在 ⊙O\odot O 的弦 ABAB 上移动，AB=4AB = 4. 连接 ODOD，过点 DD 作 ODOD 的垂线交 ⊙O\odot O 于点 CC，则 CDCD 的最大值为______.

2012 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线 θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} 与曲线
{x=t+1,y=(t−1)2,\begin{cases} x = t + 1,\\ y = (t - 1)^2, \end{cases}
（tt 为参数） 相交于 AA，BB 两点，则线段 ABAB 的中点的直角坐标为______.

2012 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡ωx−sin⁡ωx,sin⁡ωx)\boldsymbol{a} = (\cos \omega x - \sin \omega x, \sin \omega x)，b=(−cos⁡ωx−sin⁡ωx,23cos⁡ωx)\boldsymbol{b} = (-\cos \omega x - \sin \omega x, 2\sqrt{3} \cos \omega x)，设函数 f(x)=a⋅b+λf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \lambda（x∈Rx \in \mathbf{R}）的图象关于直线 x=πx = \pi 对称，其中 ω\omega，λ\lambda 为常数，且 ω∈(12,1)\omega \in \left(\frac{1}{2}, 1\right).
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 若 y=f(x)y = f(x) 的图象经过点 (π4,0)\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)，求函数 f(x)f(x) 在区间 [0,3π5]\left[0, \frac{3\pi}{5}\right] 上的取值范围.

2012 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 前三项的和为 −3-3，前三项的积为 88.
(1) 求等差数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若 a2a_{2}，a3a_{3}，a1a_{1} 成等比数列，求数列 {∣an∣}\{|a_{n}|\} 的前 nn 项和.

2012 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 XX（单位：mm\mathrm{mm}）对工期的影响如下表：
降水量 XXX<300X < 300300⩽X<700300 \leqslant X < 700700⩽X<900700 \leqslant X < 900X⩾900X \geqslant 900
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量 XX 小于 300300，700700，900900 的概率分别为 0.30.3，0.70.7，0.90.9. 求：
(1) 工期延误天数 YY 的均值与方差； (2) 在降水量 XX 至少是 300300 的条件下，工期延误不超过 66 天的概率.

2012 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=rx−xr+(1−r)f(x) = rx - x^{r} + (1 - r) （x>0x > 0），其中 rr 为有理数，且 0<r<10 < r < 1.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小值； (2) 试用（1）的结果证明如下命题：设 a1⩾0a_{1} \geqslant 0，a2⩾0a_{2} \geqslant 0，b1b_{1}，b2b_{2} 为正有理数. 若 b1+b2=1b_{1} + b_{2} = 1，则 a1b1a2b2⩽a1b1+a2b2a_{1}^{b_{1}} a_{2}^{b_{2}} \leqslant a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}； (3) 请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题. 注：当 α\alpha 为正有理数时，有求导公式 (xα)′=αxα−1(x^{\alpha})^{\prime} = \alpha x^{\alpha -1}.

2012 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21立体几何初步★★★★☆
如图 1，∠ACB=45∘\angle ACB = 45^{\circ}，BC=3BC = 3，过动点 AA 作 AD⊥BCAD \perp BC，垂足 DD 在线段 BCBC 上且异于点 BB，连接 ABAB. 沿 ADAD 将 △ABD\triangle ABD 折起，使 ∠BDC=90∘\angle BDC = 90^{\circ}（如图 2 所示）.
(1) 当 BDBD 的长为多少时，三棱锥 A−BCDA - BCD 的体积最大； (2) 当三棱锥 A−BCDA - BCD 的体积最大时，设点 EE，MM 分别为棱 BCBC，ACAC 的中点，试在棱 CDCD 上确定一点 NN，使得 EN⊥BMEN \perp BM，并求 ENEN 与平面 BMNBMN 所成角的大小.

2012 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设 AA 是单位圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 上的任意一点，ll 是过点 AA 与 xx 轴垂直的直线，DD 是直线 ll 与 xx 轴的交点，点 MM 在直线 ll 上，且满足 ∣DM∣=m∣DA∣|DM| = m|DA| （m>0m > 0 且 m≠1m \neq 1）. 当点 AA 在圆上运动时，记点 MM 的轨迹为曲线 CC.
(1) 求曲线 CC 的方程，判断曲线 CC 为何种圆锥曲线. 并求其焦点坐标； (2) 过原点且斜率为 kk 的直线交曲线 CC 于 PP，QQ 两点，其中 PP 在第一象限，它在 yy 轴上的射影为点 NN，直线 QNQN 交曲线 CC 于另一点 HH. 是否存在 mm，使得对任意的 k>0k > 0，都有 PQ⊥PHPQ \perp PH？ 若存在，求 mm 的值；若不存在，请说明理由.

2012 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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