函数

(1) 若 $a=1$，则 $f(x)$ 的最小值为______； (2) 若 $f(x)$ 恰有 $2$ 个零点，则实数 $a$ 的取值范围是______.

\begin{answer} $-1$，$\left[\dfrac{1}{2},1\right)\cup[2,+\infty)$ \end{answer}

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $a=1$ 时，$x<1$ 时 $f(x)=2^x-1$，该函数递增且下界为 $-1$. 当 $x\geqslant1$ 时，$f(x)=4(x-1)(x-2)$，其顶点为 $\left(\frac32,-1\right)$，且顶点在定义域内. 所以 $f(x)$ 的最小值为 $-1$. \item 当 $x<1$ 时，方程 $f(x)=0$ 等价于 $2^x=a$，它有一个定义域内的根当且仅当 $0<a<2$. 当 $x\geqslant1$ 时，方程 $f(x)=0$ 的根为 $x=a$ 和 $x=2a$，分别满足定义域条件当且仅当 $a\geqslant1$ 和 $a\geqslant\frac12$.

当 $a\leqslant0$ 时没有零点；当 $0<a<\frac12$ 时只有第一个分支的一个零点；当 $\frac12\leqslant a<1$ 时有第一个分支的一个零点和第二分支的一个零点；当 $1\leqslant a<2$ 时共有三个零点. 当 $a\geqslant2$ 时第一个分支没有零点，而第二分支的两个根均在定义域内. 因此恰有两个零点时，$a\in\left[\frac12,1\right)\cup[2,+\infty)$. \end{enumerate} \end{solution}

如图，在四棱锥 $A-EFCB$ 中，$\triangle AEF$ 为等边三角形，平面 $AEF \perp$ 平面 $EFCB$，$EF \parallel BC$，$BC=4$，$EF=2a$，$\angle EBC=\angle FCB=60^\circ$，$O$ 为 $EF$ 的中点.

(1) 求证：$AO \perp BE$； (2) 求二面角 $F-AE-B$ 的余弦值； (3) 若 $BE \perp$ 平面 $AOC$，求 $a$ 的值.

已知函数 $f(x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程； (2) 求证：当 $x\in(0,1)$ 时，$f(x)>2\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right)$； (3) 设实数 $k$ 使得 $f(x)>k\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right)$ 对 $x\in(0,1)$ 恒成立，求 $k$ 的最大值.

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，点 $P(0,1)$ 和点 $A(m,n)$（$m\neq 0$）都在椭圆 $C$ 上，直线 $PA$ 交 $x$ 轴于点 $M$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程，并求点 $M$ 的坐标（用 $m$，$n$ 表示）； (2) 设 $O$ 为原点，点 $B$ 与点 $A$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $PB$ 交 $x$ 轴于点 $N$. 问：$y$ 轴上是否存在点 $Q$，使得 $\angle OQM=\angle ONQ$？若存在，求点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由.