古代“五行”学说认为：“物质分金，木，土，水，火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.” 将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件 $A$ 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件 $A$ 出现的概率是（结果用数值表示）______.

某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图 $3$ 所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：

① 凳子高度为 $30 \mathrm{~cm}$； ② 三根细钢管相交处的节点 $O$ 与凳面三角形 $ABC$ 重心的连线垂直于凳面和地面.

(1) 若凳面是边长为 $20 \mathrm{~cm}$ 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为 $45^\circ$，确定节点 $O$ 分细钢管上下两段的比值（精确到 $0.01$）； (2) 若凳面是顶角为 $120^\circ$ 的等腰三角形，腰长为 $24 \mathrm{~cm}$，节点 $O$ 分细钢管上下两段之比为 $2:3$. 确定三根细钢管的长度（精确到 $0.1 \mathrm{~cm}$）.

已知 $z$ 是实系数方程 $x^2+2bx+c=0$ 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为 $P_z(\operatorname{Re} z,\operatorname{Im} z)$.

(1) 若 $(b,c)$ 在直线 $2x+y=0$ 上，求证：$P_z$ 在圆 $C_1:(x-1)^2+y^2=1$ 上； (2) 给定圆 $C:(x-m)^2+y^2=r^2$（$m$，$r\in\mathbf{R}$，$r>0$），则存在唯一的线段 $s$ 满足：

① 若 $P_z$ 在圆 $C$ 上，则 $(b,c)$ 在线段 $s$ 上； ② 若 $(b,c)$ 是线段 $s$ 上一点（非端点），则 $P_z$ 在圆 $C$ 上.

写出线段 $s$ 的表达式，并说明理由； (3) 由第 $2$ 问知线段 $s$ 与圆 $C$ 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中 $s_1$ 是第 $1$ 问中圆 $C_1$ 的对应线段）.