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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣x<−1或2⩽x<3}A=\{x \mid x<-1\text{或}2\leqslant x<3\}，B={x∣−2⩽x<4}B=\{x \mid -2\leqslant x<4\}，则 A∪B=A\cup B=______.

2008 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02数列★☆☆☆☆
计算：lim⁡n→∞3n+13n+1+2n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3^n+1}{3^{n+1}+2^n}=______.

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=−x2+x+6x−1f(x)=\frac{\sqrt{-x^2+x+6}}{x-1} 的定义域是______.

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04三角函数★☆☆☆☆
方程 2cos⁡(x−π4)=12\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1 在区间 (0,π)(0,\pi) 内的解是______.

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05数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 是公差不为零的等差数列，a1=1a_1=1. 若 a1a_1，a2a_2，a5a_5 成等比数列，则 an=a_n=______.

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06三角函数★☆☆☆☆
化简：cos⁡(π3+α)+sin⁡(π6+α)=\cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)+\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=______.

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07解析几何★★☆☆☆
已知 PP 是双曲线 x2a2−y29=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x−y=03x-y=0. 设 F1F_1，F2F_2 分别为双曲线的左，右焦点. 若 ∣PF2∣=3|PF_2|=3，则 ∣PF1∣=|PF_1|=______.

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08立体几何初步★★★☆☆
已知一个凸多面体共有 99 个面，所有棱长均为 11，其平面展开图如图 11 所示，则该凸多面体的体积 V=V=______.

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09数列★★☆☆☆
已知无穷数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和 Sn=13an−1S_n=\frac{1}{3}a_n-1，则数列 {an}\{a_n\} 的各项和为______.

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10计数原理与组合数学★★★★☆
古代“五行”学说认为：“物质分金，木，土，水，火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.” 将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件 AA 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件 AA 出现的概率是（结果用数值表示）______.

2008 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11数列★★★☆☆
已知 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n，b1b_1，b2b_2，⋯\cdots，bnb_n（nn 是正整数），令 L1=b1+b2+⋯+bnL_1=b_1+b_2+\cdots+b_n，L2=b2+b3+⋯+bnL_2=b_2+b_3+\cdots+b_n，⋯\cdots，Ln=bnL_n=b_n. 某人用图 22 分析得到恒等式 a1b1+a2b2+⋯+anbn=a1L1+c2L2+c3L3+⋯+ckLk+⋯+cnLna_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n=a_1L_1+c_2L_2+c_3L_3+\cdots+c_kL_k+\cdots+c_nL_n，则 ck=c_k=______（2⩽k⩽n2\leqslant k\leqslant n）.

2008 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
已知 A(1,2)A(1,2)，B(3,4)B(3,4)，直线 l1:x=0l_1:x=0，l2:y=0l_2:y=0 和 l3:x+3y−1=0l_3:x+3y-1=0. 设 PiP_i 是 lil_i（i=1i=1，22，33）上与 AA，BB 两点距离平方和最小的点，则 △P1P2P3\triangle P_1P_2P_3 的面积是______.

2008 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(2,−3)\boldsymbol{a}=(2,-3)，b=(3,λ)\boldsymbol{b}=(3,\lambda)，若 a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}，则 λ\lambda 等于（ ）
A.
23\frac{2}{3}.
B.
−2-2.
C.
−92-\frac{9}{2}.
D.
−23-\frac{2}{3}.

2008 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 选择题

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14解析几何★★☆☆☆
已知椭圆 x210−m+y2m−2=1\frac{x^2}{10-m}+\frac{y^2}{m-2}=1，长轴在 yy 轴上. 若焦距为 44，则 mm 等于（ ）
A.
44.
B.
55.
C.
77.
D.
88.

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 定义在 R\mathbf{R} 上，h(x)=f(x)⋅g(x)h(x)=f(x)\cdot g(x)，则“f(x)f(x)，g(x)g(x) 均为奇函数”是“h(x)h(x) 为偶函数”的（ ）
A.
充分不必要条件.
B.
必要不充分条件.
C.
充要条件.
D.
既不充分也不必要条件.

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16复数★★☆☆☆
已知 z∈Cz\in\mathbf{C}，且 ∣z−2−2i∣=1|z-2-2\mathrm{i}|=1，i\mathrm{i} 为虚数单位，则 ∣z+2−2i∣|z+2-2\mathrm{i}| 的最小值是（ ）
A.
22.
B.
33.
C.
44.
D.
55.

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17三角函数★★☆☆☆
已知 cos⁡θ=−23\cos \theta=-\frac{\sqrt{2}}{3}，θ∈(π2,π)\theta\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)，求 2sin⁡2θ−cos⁡θsin⁡θ\frac{2}{\sin 2\theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta} 的值.

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18解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，AA，BB 分别为直线 x+y=2x+y=2 与 xx，yy 轴的交点，CC 为 ABAB 的中点. 若抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）过点 CC，求焦点 FF 到直线 ABAB 的距离.

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19函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=log⁡2(2x+1)f(x)=\log_2\left(2^x+1\right).
(1) 求证：函数 f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 内单调递增； (2) 记 f−1(x)f^{-1}(x) 为函数 f(x)f(x) 的反函数. 若关于 xx 的方程 f−1(x)=m+f(x)f^{-1}(x)=m+f(x) 在 [1,2][1,2] 上有解，求 mm 的取值范围.

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20立体几何初步★★★★☆
某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图 33 所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：
① 凳子高度为 30 cm30 \mathrm{~cm}； ② 三根细钢管相交处的节点 OO 与凳面三角形 ABCABC 重心的连线垂直于凳面和地面.
(1) 若凳面是边长为 20 cm20 \mathrm{~cm} 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为 45∘45^\circ，确定节点 OO 分细钢管上下两段的比值（精确到 0.010.01）； (2) 若凳面是顶角为 120∘120^\circ 的等腰三角形，腰长为 24 cm24 \mathrm{~cm}，节点 OO 分细钢管上下两段之比为 2:32:3. 确定三根细钢管的长度（精确到 0.1 cm0.1 \mathrm{~cm}）.

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21数列★★★★★
在直角坐标平面 xOyxOy 上的一列点 A1(1,a1)A_1(1,a_1)，A2(2,a2)A_2(2,a_2)，⋯\cdots，An(n,an)A_n(n,a_n)，⋯\cdots，简记为 {An}\{A_n\}. 若由 bn=AnAn+1→⋅jb_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}\cdot\boldsymbol{j} 构成的数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn+1>bnb_{n+1}>b_n，n=1n=1，22，33，⋯\cdots，其中 j\boldsymbol{j} 为方向与 yy 轴正方向相同的单位向量，则称 {An}\{A_n\} 为 TT 点列.
(1) 判断 A1(1,1)A_1(1,1)，A2(2,12)A_2\left(2,\frac{1}{2}\right)，A3(3,13)A_3\left(3,\frac{1}{3}\right)，⋯\cdots，An(n,1n)A_n\left(n,\frac{1}{n}\right)，⋯\cdots，是否为 TT 点列，并说明理由； (2) 若 {An}\{A_n\} 为 TT 点列，且点 A2A_2 在点 A1A_1 的右上方. 任取其中连续三点 AkA_k，Ak+1A_{k+1}，Ak+2A_{k+2}，判断 △AkAk+1Ak+2\triangle A_kA_{k+1}A_{k+2} 的形状（锐角三角形，直角三角形，钝角三角形），并予以证明； (3) 若 {An}\{A_n\} 为 TT 点列，正整数 1⩽m<n<p<q1\leqslant m<n<p<q 满足 m+q=n+pm+q=n+p，求证：AnAq→⋅j>AmAp→⋅j\overrightarrow{A_nA_q}\cdot\boldsymbol{j}>\overrightarrow{A_mA_p}\cdot\boldsymbol{j}.

2008 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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22复数★★★★☆
已知 zz 是实系数方程 x2+2bx+c=0x^2+2bx+c=0 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为 Pz(Re⁡z,Im⁡z)P_z(\operatorname{Re} z,\operatorname{Im} z).
(1) 若 (b,c)(b,c) 在直线 2x+y=02x+y=0 上，求证：PzP_z 在圆 C1:(x−1)2+y2=1C_1:(x-1)^2+y^2=1 上； (2) 给定圆 C:(x−m)2+y2=r2C:(x-m)^2+y^2=r^2（mm，r∈Rr\in\mathbf{R}，r>0r>0），则存在唯一的线段 ss 满足：
① 若 PzP_z 在圆 CC 上，则 (b,c)(b,c) 在线段 ss 上； ② 若 (b,c)(b,c) 是线段 ss 上一点（非端点），则 PzP_z 在圆 CC 上.
写出线段 ss 的表达式，并说明理由； (3) 由第 22 问知线段 ss 与圆 CC 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中 s1s_1 是第 11 问中圆 C1C_1 的对应线段）.

2008 · 上海 · 春季 · 第 22 题 · 解答题

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