函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有定义，若对任意 $x_{1}$，$x_{2} \in [a,b]$，有 $f\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}[f(x_{1}) + f(x_{2})]$，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有性质 $P$. 设 $f(x)$ 在 $[1,3]$ 上具有性质 $P$，现给出如下命题：

① $f(x)$ 在 $[1,3]$ 上的图象是连续不断的； ② $f(x^{2})$ 在 $[1,\sqrt{3}]$ 上具有性质 $P$； ③ 若 $f(x)$ 在 $x = 2$ 处取得最大值 $1$，则 $f(x) = 1$，$x \in [1,3]$； ④ 对任意 $x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，$x_{4} \in [1,3]$，有 $f\left(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}}{4}\right) \leqslant \frac{1}{4}[f(x_{1}) + f(x_{2}) + f(x_{3}) + f(x_{4})]$.

其中真命题的序号是（ ）

对于实数 $a$ 和 $b$，定义运算“$\ast$”： 设 $f(x) = (2x - 1) \ast (x - 1)$，且关于 $x$ 的方程 $f(x) = m$ （$m \in \mathbf{R}$）恰有三个互不相等的实数根 $x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，则 $x_{1}x_{2}x_{3}$ 的取值范围是______.

如图，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > b > 0$）的左焦点为 $F_{1}$，右焦点为 $F_{2}$，离心率 $\varepsilon = \frac{1}{2}$，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A$，$B$ 两点，且 $\triangle ABF_{2}$ 的周长为 $8$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程； (2) 设动直线 $l: y = kx + m$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $P$，且与直线 $x = 4$ 相交于点 $Q$. 试探究：在坐标平面内是否存在定点 $M$，使得以 $PQ$ 为直径的圆恒过点 $M$？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.