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19不等式★★★★☆
设对所有实数 xx，不等式 x2log⁡24(a+1)a+2xlog⁡22aa+1+log⁡2(a+1)24a2>0x^2\log_2 \frac{4(a + 1)}{a} + 2x\log_2 \frac{2a}{a + 1} + \log_2 \frac{(a + 1)^2}{4a^2} > 0 恒成立，求 aa 的取值范围.

1987 · 全国 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20复数★★★★☆
设复数 z1z_1 和 z2z_2 满足关系式 z1z2‾+A‾z1+Az2‾=0z_1\overline{z_2} + \overline{A}z_1 + A\overline{z_2} = 0，其中 AA 为不等于 00 的复数. 证明：
(1) ∣z1+A∣∣z2+A∣=∣A∣2|z_1 + A||z_2 + A| = |A|^2； (2) z1+Az2+A=∣z1+Az2+A∣\frac{z_1 + A}{z_2 + A} = \left|\frac{z_1 + A}{z_2 + A}\right|.

1987 · 全国 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
设数列 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n，⋯\cdots 的前 nn 项的和 SnS_n 与 ana_n 满足 Sn=kan+1S_n = ka_n + 1（其中 kk 是与 nn 无关的常数，且 k≠1k \neq 1）.
(1) 试写出用 nn，kk 表示的 ana_n 的表达式； (2) 若 lim⁡n→∞Sn=1\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n = 1，求 kk 的取值范围.

1987 · 全国 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
正方形 ABCDABCD 在直角坐标平面内，已知其一条边 ABAB 在直线 y=x+4y = x + 4 上，CC，DD 在抛物线 x=y2x = y^2 上，求正方形 ABCDABCD 的面积.

1987 · 全国 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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