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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 SS，TT 是两个非空集合，且 S⊈TS \not\subseteq T，T⊈ST \not\subseteq S，令 X=S∩TX = S \cap T，那么 S∪XS \cup X 等于（ ）
A.
XX
B.
TT
C.
∅\varnothing
D.
SS

1987 · 全国 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★☆☆☆☆
设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0），令 c=a2−b2c = \sqrt{a^2 - b^2}，那么它的准线方程为（ ）
A.
y=±a2cy = \pm \frac{a^2}{c}
B.
y=±b2cy = \pm \frac{b^2}{c}
C.
x=±a2cx = \pm \frac{a^2}{c}
D.
x=±b2cx = \pm \frac{b^2}{c}

1987 · 全国 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 log⁡34⋅log⁡48⋅log⁡8m=log⁡416\log_3 4 \cdot \log_4 8 \cdot \log_8 m = \log_4 16，那么 mm 等于（ ）
A.
92\frac{9}{2}
B.
99
C.
1818
D.
2727

1987 · 全国 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04复数★★☆☆☆
复数 sin⁡40∘−icos⁡40∘\sin 40^\circ - \mathrm{i}\cos 40^\circ 的辐角为（ ）
A.
40∘40^\circ
B.
140∘140^\circ
C.
220∘220^\circ
D.
310∘310^\circ

1987 · 全国 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
二次函数 y=f(x)y = f(x) 的图象如图所示，那么此函数为（ ）
A.
y=x2−4y = x^2 - 4
B.
y=4−x2y = 4 - x^2
C.
y=34(4−x2)y = \frac{3}{4}\left(4 - x^2\right)
D.
y=34(2−x2)y = \frac{3}{4}\left(2 - x^2\right)

1987 · 全国 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
在区间 (−∞,0)(-\infty,0) 上为增函数的是（ ）
A.
y=−log⁡12(−x)y = -\log_{\frac{1}{2}}(-x)
B.
y=x1−xy = \frac{x}{1 - x}
C.
y=−(x+1)2y = -(x + 1)^2
D.
y=1+x2y = 1 + x^2

1987 · 全国 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
已知平面上一点 PP 在原坐标系中的坐标为 (0,m)(0,m)（m≠0m \neq 0），而在平移后的新坐标系中的坐标为 (m,0)(m,0)，那么新坐标系的原点 O′O' 在原坐标系中的坐标为（ ）
A.
(−m,m)(-m,m)
B.
(m,−m)(m,-m)
C.
(m,m)(m,m)
D.
(−m,−m)(-m,-m)

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08三角函数★★☆☆☆
要得到函数 y=sin⁡(2x−π3)y = \sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) 的图象，只需将函数 y=sin⁡2xy = \sin 2x 的图象（如图）（ ）
A.
向左平行移动 π3\frac{\pi}{3}
B.
向右平行移动 π3\frac{\pi}{3}
C.
向左平行移动 π6\frac{\pi}{6}
D.
向右平行移动 π6\frac{\pi}{6}

1987 · 全国 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★☆☆☆
求函数 y=sin⁡22xy = \sin^2 2x 的周期.

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10解析几何★★☆☆☆
已知方程 x22+λ−y21+λ=1\frac{x^2}{2 + \lambda} - \frac{y^2}{1 + \lambda} = 1 表示双曲线，求 λ\lambda 的范围.

1987 · 全国 · 文 · 第 10 题 · 解答题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (1+x)n(1 + x)^n 的展开式中，x3x^3 的系数等于 xx 的系数的 77 倍，求 nn.

1987 · 全国 · 文 · 第 11 题 · 解答题

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12数列★★☆☆☆
求极限：lim⁡n→∞(1n2+2n2+3n2+⋯+2nn2)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^2} + \cdots + \frac{2n}{n^2}\right).

1987 · 全国 · 文 · 第 12 题 · 解答题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
由数字 11，22，33，44，55 组成没有重复数字且数字 11 与 22 不相邻的五位数，求这种五位数的个数.

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14函数与初等函数★★☆☆☆
求函数 y=log⁡2(1+2x−3x2)y = \log_2(1 + 2x - 3x^2) 的定义域.

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15立体几何初步★★☆☆☆
圆锥底面积为 3π3\pi，母线与底面所成的角为 60∘60^\circ，求它的体积.

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16三角函数★★☆☆☆
发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间 tt 的函数：IA=Isin⁡ωtI_A = I\sin \omega t，IB=Isin⁡(ωt+120∘)I_B = I\sin(\omega t + 120^\circ)，IC=Isin⁡(ωt+240∘)I_C = I\sin(\omega t + 240^\circ)，求 IA+IB+ICI_A + I_B + I_C 的值.

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17复数★★★☆☆
在复平面内，已知等边三角形的两个顶点表示的复数分别为 22，12+32i\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}，求第三个顶点表示的复数.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，三棱锥 P−ABCP-ABC 中，已知 PA⊥BCPA \perp BC，PA=BC=LPA = BC = L，PAPA，BCBC 的公垂线 ED=hED = h. 求证：三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积 V=16L2hV = \frac{1}{6}L^2h.

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19不等式★★★★☆
设对所有实数 xx，不等式 x2log⁡24(a+1)a+2xlog⁡22aa+1+log⁡2(a+1)24a2>0x^2\log_2 \frac{4(a + 1)}{a} + 2x\log_2 \frac{2a}{a + 1} + \log_2 \frac{(a + 1)^2}{4a^2} > 0 恒成立，求 aa 的取值范围.

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20复数★★★★☆
设复数 z1z_1 和 z2z_2 满足关系式 z1z2‾+A‾z1+Az2‾=0z_1\overline{z_2} + \overline{A}z_1 + A\overline{z_2} = 0，其中 AA 为不等于 00 的复数. 证明：
(1) ∣z1+A∣∣z2+A∣=∣A∣2|z_1 + A||z_2 + A| = |A|^2； (2) z1+Az2+A=∣z1+Az2+A∣\frac{z_1 + A}{z_2 + A} = \left|\frac{z_1 + A}{z_2 + A}\right|.

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21数列★★★★☆
设数列 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n，⋯\cdots 的前 nn 项的和 SnS_n 与 ana_n 满足 Sn=kan+1S_n = ka_n + 1（其中 kk 是与 nn 无关的常数，且 k≠1k \neq 1）.
(1) 试写出用 nn，kk 表示的 ana_n 的表达式； (2) 若 lim⁡n→∞Sn=1\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n = 1，求 kk 的取值范围.

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22解析几何★★★★☆
正方形 ABCDABCD 在直角坐标平面内，已知其一条边 ABAB 在直线 y=x+4y = x + 4 上，CC，DD 在抛物线 x=y2x = y^2 上，求正方形 ABCDABCD 的面积.

1987 · 全国 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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