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16计数原理与组合数学★★★★☆

n \in \mathbf{N}^*

n

n = a_0 \times 2^k + a_1 \times 2^{k-1} + a_2 \times 2^{k-2} + \cdots + a_{k-1} \times 2^1 + a_k \times 2^0

i = 0

a_i = 1

1 \leqslant i \leqslant k

a_i

为 0 或 1. 记

I(n)

为上述表示中

a_i

为 0 的个数（例如：

1 = 1 \times 2^0

4 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0

I(1) = 0

I(4) = 2

I(12) =

\displaystyle\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=

2011 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★★☆

如图，在圆锥

PO

PO = \sqrt{2}

\odot O

AB = 2

C

\widehat{AB}

D

AC

(1) 证明：平面

POD \perp

PAC

； (2) 求二面角

B - PA - C

2011 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆

如图，长方体物体

E

在雨中沿面

P

S

）的垂直方向作匀速移动，速度为

v

v > 0

），雨速沿

E

移动方向的分速度为

c

c \in \mathbf{R}

E

移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：

P

P

的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与

|v - c| \times S

成正比，比例系数为

\frac{1}{10}

； ② 其它面的淋雨量之和，其值为

\frac{1}{2}

y

E

移动过程中的总淋雨量，当移动距离

d = 100

S = \frac{3}{2}

y

的表达式； (2) 设

0 < v \leqslant 10

0 < c \leqslant 5

c

的不同取值范围，确定移动速度

v

y

2011 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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