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01复数★☆☆☆☆
若 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，i\mathrm{i} 为虚数单位，且 (a+i)i=b+i(a + \mathrm{i})\mathrm{i} = b + \mathrm{i}，则（ ）
A.
a=1a = 1，b=1b = 1
B.
a=−1a = -1，b=1b = 1
C.
a=−1a = -1，b=−1b = -1
D.
a=1a = 1，b=−1b = -1

2011 · 湖南 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 M={1,2}M = \{1, 2\}，N={a2}N = \{a^2\}，则 “a=1a = 1” 是 “N⊆MN \subseteq M” 的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分又不必要条件

2011 · 湖南 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★★☆☆☆
如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A.
92π+12\frac{9}{2}\pi + 12
B.
92π+18\frac{9}{2}\pi + 18
C.
9π+429\pi + 42
D.
36π+1836\pi + 18

2011 · 湖南 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
通过随机询问 110 名110\text{ 名} 性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男女总计
不爱好203050
总计6050110
由 K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)} 算得 K2=110×(40×30−20×20)260×50×60×50≈7.8K^{2} = \frac{110 \times (40 \times 30 - 20 \times 20)^{2}}{60 \times 50 \times 60 \times 50} \approx 7.8. 附表：
P(K2⩾k)P(K^2\geqslant k)0.0500.0100.001
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A.
在犯错误的概率不超过 0.1%0.1\% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B.
在犯错误的概率不超过 0.1%0.1\% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C.
有 99%99\% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D.
有 99%99\% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

2011 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
设双曲线 x2a2−y29=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1（a>0a > 0）的渐近线方程为 3x±2y=03x \pm 2y = 0，则 aa 的值为（ ）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1

2011 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
由直线 x=−π3x = -\frac{\pi}{3}，x=π3x = \frac{\pi}{3}，y=0y = 0 与曲线 y=cos⁡xy = \cos x 所围成的封闭图形的面积为（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
1
C.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
3\sqrt{3}

2011 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
设 m>1m > 1，在约束条件
{y⩾x,y⩽mx,x+y⩽1\begin{cases} y \geqslant x,\\ y \leqslant mx,\\ x + y \leqslant 1 \end{cases}
下，目标函数 z=x+myz = x + my 的最大值小于 22，则 mm 的取值范围为（ ）
A.
(1,1+2)(1, 1 + \sqrt{2})
B.
(1+2,+∞)(1 + \sqrt{2}, +\infty)
C.
(1,3)(1,3)
D.
(3,+∞)(3, +\infty)

2011 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
设直线 x=tx = t 与函数 f(x)=x2f(x) = x^2，g(x)=ln⁡xg(x) = \ln x 的图象分别交于点 MM，NN，则当 ∣MN∣|MN| 达到最小时 tt 的值为（ ）
A.
1
B.
12\frac{1}{2}
C.
52\frac{\sqrt{5}}{2}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2011 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为
{x=cos⁡α,y=1+sin⁡α\begin{cases} x = \cos \alpha,\\ y = 1 + \sin \alpha \end{cases}
（α\alpha 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 xOyxOy 取相同的长度单位，且以原点 OO 为极点，以 xx 轴正半轴为极轴）中，曲线 C2C_2 的方程为 ρ(cos⁡θ−sin⁡θ)+1=0\rho (\cos \theta - \sin \theta) + 1 = 0，则 C1C_1 与 C2C_2 的交点个数为______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10不等式★★★☆☆
设 xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，且 xy≠0xy \neq 0，则 (x2+1y2)(1x2+4y2)\left(x^2 + \frac{1}{y^2}\right)\left(\frac{1}{x^2} + 4y^2\right) 的最小值为______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
如图，AA，EE 是半圆周上的两个三等分点，直径 BC=4BC=4，AD⊥BCAD\perp BC，垂足为 DD，BEBE 与 ADAD 相交于点 FF，则 AFAF 的长为______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★☆☆☆☆
设 SnS_{n} 是等差数列 {an}\{a_{n}\}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）的前 nn 项和，且 a1=1a_{1} = 1，a4=7a_{4} = 7，则 S5=S_{5} =______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
若执行如图所示的框图，输入 x1=1x_{1} = 1，x2=2x_{2} = 2，x3=3x_{3} = 3，x‾=2\overline{x} = 2，则输出的数等于______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
在边长为 1 的正三角形 ABCABC 中，设 BC→=2BD→\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BD}，CA→=3CE→\overrightarrow{CA} = 3\overrightarrow{CE}，则 AD→⋅BE→=\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BE} =______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★★☆☆☆
如图所示，EFGHEFGH 是以 OO 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 AA 表示事件“豆子落在正方形 EFGHEFGH 内”，BB 表示事件“豆子落在扇形 OHEOHE（阴影部分）内”，则
(1) P(A)=P(A)=______； (2) P(B∣A)=P(B\mid A)=______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★☆
对于 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，将 nn 表示为 n=a0×2k+a1×2k−1+a2×2k−2+⋯+ak−1×21+ak×20n = a_0 \times 2^k + a_1 \times 2^{k-1} + a_2 \times 2^{k-2} + \cdots + a_{k-1} \times 2^1 + a_k \times 2^0. 当 i=0i = 0 时，ai=1a_i = 1，当 1⩽i⩽k1 \leqslant i \leqslant k 时，aia_i 为 0 或 1. 记 I(n)I(n) 为上述表示中 aia_i 为 0 的个数 （例如： 1=1×201 = 1 \times 2^0，4=1×22+0×21+0×204 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0，则 I(1)=0I(1) = 0，I(4)=2I(4) = 2），则
(1) I(12)=I(12) =______； (2) ∑n=11272I(n)=\displaystyle\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 且满足 csin⁡A=acos⁡Cc \sin A = a \cos C.
(1) 求角 CC 的大小； (2) 求 3sin⁡A−cos⁡(B+π4)\sqrt{3} \sin A - \cos \left(B + \frac{\pi}{4}\right) 的最大值，并求取得最大值时角 AA，BB 的大小.

2011 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某商店试销某种商品 20 天20\text{ 天}，获得如下数据：
日销售量（件）0123
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品 3 件3\text{ 件}，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件2\text{ 件}，则当天进货补充至 3 件3\text{ 件}，否则不进货，将频率视为概率.
(1) 求当天商品不进货的概率； (2) 记 XX 为第二天开始营业时该商品的件数，求 XX 的分布列和数学期望.

2011 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在圆锥 POPO 中，已知 PO=2PO = \sqrt{2}，⊙O\odot O 的直径 AB=2AB = 2，CC 是 AB^\widehat{AB} 的中点，DD 为 ACAC 的中点.
(1) 证明：平面 POD⊥POD \perp 平面 PACPAC； (2) 求二面角 B−PA−CB - PA - C 的余弦值.

2011 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆
如图，长方体物体 EE 在雨中沿面 PP（面积为 SS）的垂直方向作匀速移动，速度为 vv（v>0v > 0），雨速沿 EE 移动方向的分速度为 cc（c∈Rc \in \mathbf{R}）. EE 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：
① PP 或 PP 的平行面 （只有一个面淋雨） 的淋雨量，假设其值与 ∣v−c∣×S|v - c| \times S 成正比，比例系数为 110\frac{1}{10}； ② 其它面的淋雨量之和，其值为 12\frac{1}{2}；
记 yy 为 EE 移动过程中的总淋雨量，当移动距离 d=100d = 100，面积 S=32S = \frac{3}{2} 时.
(1) 写出 yy 的表达式； (2) 设 0<v⩽100 < v \leqslant 10，0<c⩽50 < c \leqslant 5，试根据 cc 的不同取值范围，确定移动速度 vv，使 yy 最少.

2011 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，椭圆 C1:x2a2+y2b2=1C_{1}:\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，xx 轴被曲线 C2C_2：y=x2−by = x^{2} - b 截得的线段长等于 C1C_1 的长半轴长.
(1) 求 C1C_1，C2C_2 的方程； (2) 设 C2C_2 与 yy 轴的交点为 MM，过坐标原点 OO 的直线 ll 与 C2C_2 相交于点 AA，B，直线 MAMA，MBMB 分别与 C1C_1 相交于点 DD，EE.
(i) 证明：MD⊥MEMD \perp ME； (ii) 记 △MAB\triangle MAB，△MDE\triangle MDE 的面积分别是 S1S_{1}，S2S_{2}. 问：是否存在直线 ll，使得 S1S2=1732\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{17}{32}，请说明理由.

2011 · 湖南 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=x3f(x) = x^3，g(x)=x+xg(x) = x + \sqrt{x}.
(1) 求函数 h(x)=f(x)−g(x)h(x) = f(x) - g(x) 的零点个数，并说明理由； (2) 设数列 {an}\{a_{n}\}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）满足 a1=aa_{1} = a（a>0a > 0），f(an+1)=g(an)f(a_{n+1}) = g(a_{n})，证明：存在常数 MM，使得对于任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，都有 an⩽Ma_{n} \leqslant M.

2011 · 湖南 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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