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23立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A′B′C′ABC-A'B'C' 中，四边形 A′ABB′A'ABB' 是菱形，四边形 BCC′B′BCC'B' 是矩形，C′B′⊥ABC'B' \perp AB.
(1) 求证：平面 CA′B⊥CA'B \perp 平面 A′ABA'AB； (2) 若 C′B′=3C'B'=3，AB=4AB=4，∠ABB′=60∘\angle ABB'=60^\circ，求 AC′AC' 与平面 BCC′BCC' 所成角的大小（用反三角函数表示）.

1997 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24复数★★★★☆
设虚数 z1z_1，z2z_2 满足 z12=z2z_1^2=z_2.
(1) 若 z1z_1，z2z_2 又是一个实系数一元二次方程的两个根，求 z1z_1，z2z_2； (2) 若 z1=1+miz_1=1+m\mathrm{i}（m>0m>0，i\mathrm{i} 为虚数单位），ω=z2−2\omega=z_2-2，ω\omega 的辐角主值为 θ\theta，求 θ\theta 的取值范围.

1997 · 上海 · 理 · 第 24 题（A） · 解答题

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24解析几何★★★★☆
如图，抛物线 C1:y=−x2C_1:y=-x^2 与抛物线 C2:y=x2−2axC_2:y=x^2-2ax（a>0a>0）交于 OO，AA 两点.
(1) 把 C1C_1 与 C2C_2 所围成的图形（阴影部分）绕 xx 轴旋转一周，求所得几何体的体积 VV； (2) 若过原点的直线 ll 与抛物线 C2C_2 所围成的图形面积为 92a3\frac{9}{2}a^3，求直线 ll 的方程.

1997 · 上海 · 理 · 第 24 题（B） · 解答题

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25解析几何★★★★☆
如图，抛物线方程为 y2=p(x+1)y^2=p(x+1)（p>0p>0），直线 x+y=mx+y=m 与 xx 轴的交点在抛物线的准线的右边.
(1) 求证：直线与抛物线总有两个交点； (2) 设直线与抛物线的交点为 QQ，RR，OQ⊥OROQ\perp OR，求 pp 关于 mm 的函数 f(m)f(m) 的表达式； (3) 在（2）的条件下，若 mm 变化，使得原点 OO 到直线 QRQR 的距离不大于 22\frac{\sqrt{2}}{2}，求 pp 的取值范围.

1997 · 上海 · 理 · 第 25 题 · 解答题

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26数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 的首项 a1=1a_1=1，前 nn 项和 SnS_n 满足关系式：3tSn−(2t+3)Sn−1=3t3tS_n-(2t+3)S_{n-1}=3t（t>0t>0，n=2n=2，33，44，…\dots）.
(1) 求证：数列 {an}\{a_n\} 是等比数列； (2) 设数列 {an}\{a_n\} 的公比为 f(t)f(t)，作数列 {bn}\{b_n\}，使 b1=1b_1=1，bn=f(1bn−1)b_n=f\left(\frac{1}{b_{n-1}}\right)（n=2n=2，33，44，⋯\cdots），求 lim⁡n→∞lg⁡anbn\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\lg a_n}{b_n}； (3) 求和：b1b2−b2b3+b3b4−⋯+(−1)n−1bnbn+1b_1b_2-b_2b_3+b_3b_4-\cdots+(-1)^{n-1}b_nb_{n+1}.

1997 · 上海 · 理 · 第 26 题 · 解答题

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