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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设全集是实数集 R\mathbf{R}，M={x∣x⩽1+2,x∈R}M=\left\{x \mid x \leqslant 1+\sqrt{2}, x \in \mathbf{R}\right\}，N={1,2,3,4}N=\{1,2,3,4\}. 则 M‾∩N\overline{M} \cap N 等于（ ）
A.
{4}\{4\}
B.
{3,4}\{3,4\}
C.
{2,3,4}\{2,3,4\}
D.
{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}

1997 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★☆☆☆☆
三个数 60.76^{0.7}，0.760.7^{6}，log⁡0.76\log_{0.7}6 的大小顺序是（ ）
A.
0.76<log⁡0.76<60.70.7^6 < \log_{0.7}6 < 6^{0.7}
B.
0.76<60.7<log⁡0.760.7^6 < 6^{0.7} < \log_{0.7}6
C.
log⁡0.76<60.7<0.76\log_{0.7}6 < 6^{0.7} < 0.7^6
D.
log⁡0.76<0.76<60.7\log_{0.7}6 < 0.7^6 < 6^{0.7}

1997 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★★★☆☆
在下列命题中，假命题是（ ）
A.
若 aa，bb 是异面直线，则一定存在平面 α\alpha 过 aa 且与 bb 平行
B.
若 aa，bb 是异面直线，则一定存在平面 α\alpha 过 aa 且与 bb 垂直
C.
若 aa，bb 是异面直线，则一定存在平面 α\alpha 与 aa，bb 所成角相等
D.
若 aa，bb 是异面直线，则一定存在平面 α\alpha 与 aa，bb 的距离相等

1997 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
设 θ∈(3π4,π)\theta \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)，则关于 xx，yy 的方程 x2csc⁡θ−y2sec⁡θ=1x^2 \csc \theta - y^2 \sec \theta = 1 所表示的曲线是（ ）
A.
实轴在 yy 轴上的双曲线
B.
实轴在 xx 轴上的双曲线
C.
长轴在 yy 轴上的椭圆
D.
长轴在 xx 轴上的椭圆

1997 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
如果直线 ll 沿 xx 轴负方向平移 33 个单位，再沿 yy 轴正方向平移 11 个单位后，又回到原来的位置，那么直线 ll 的斜率是（ ）
A.
−13-\frac{1}{3}
B.
−3-3
C.
13\frac{1}{3}
D.
33

1997 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
设 f(n)=1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12nf(n)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n}（n∈Nn \in \mathbf{N}），那么 f(n+1)−f(n)f(n+1)-f(n) 等于（ ）
A.
12n+1\frac{1}{2n+1}
B.
12n+2\frac{1}{2n+2}
C.
12n+1+12n+2\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}
D.
12n+1−12n+2\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}

1997 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
二次曲线
{x=5cos⁡θy=3sin⁡θ\begin{cases} x = 5\cos \theta\\ y = 3\sin \theta \end{cases}
（θ\theta 是参数）的左焦点坐标是______.

1997 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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08三角函数★★☆☆☆
方程 sin⁡2x=12\sin 2x = \frac{1}{2} 在 [−2π,2π]\left[-2\pi, 2\pi\right] 内解的个数是______.

1997 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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09复数★★☆☆☆
已知 a=−3−i1+2ia=\frac{-3-\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}（i\mathrm{i} 是虚数单位），那么 a4=‾a^4=\underline{\hspace{2em}}.

1997 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10解析几何★★☆☆☆
设圆 x2+y2−4x−5=0x^2+y^2-4x-5=0 的弦 ABAB 的中点为 P(3,1)P(3,1)，则直线 ABAB 的方程是______.

1997 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (3x+1)n(3x+1)^n（n∈Nn \in \mathbf{N}）的展开式中各项系数的和是 256256，则展开式中 x2x^2 的系数是______.

1997 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=3sin⁡xcos⁡x−4cos⁡2xf(x)=3\sin x\cos x-4\cos^2 x 的最大值是______.

1997 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
设 0<a<b0<a<b，则 lim⁡n→∞4bnan−bn=‾\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{4b^n}{a^n-b^n}=\underline{\hspace{2em}}.

1997 · 上海 · 理 · 第 13 题（A） · 填空题

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14立体几何初步★★☆☆☆
设正四棱锥底面边长为 4 cm4\mathrm{~cm}，侧面和底面所成的二面角是 60∘60^\circ，则这个棱锥的侧面积是______cm2\mathrm{cm}^2.

1997 · 上海 · 理 · 第 14 题（A） · 填空题

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15立体几何初步★☆☆☆☆
圆柱形容器的内壁底半径为 5 cm5\mathrm{~cm}，两个直径为 5 cm5\mathrm{~cm} 的玻璃小球都浸没于容器的水中. 若取出这两个小球，则容器内的水面将下降______cm\mathrm{cm}.

1997 · 上海 · 理 · 第 15 题（A） · 填空题

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16计数原理与组合数学★★☆☆☆
从集合 {0,1,2,3,5,7,11}\{0,1,2,3,5,7,11\} 中任取 33 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0Ax+By+C=0 中的 AA，BB，CC，所得恰好经过坐标原点的直线有______ 条（结果用数值表示）.

1997 · 上海 · 理 · 第 16 题（A） · 填空题

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17导数及其应用★★☆☆☆
lim⁡n→∞(1−2n)−2n=‾\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{-2n}=\underline{\hspace{2em}}.

1997 · 上海 · 理 · 第 17 题（B） · 填空题

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18平面向量★★☆☆☆
设 a=(m+1)i−3j\boldsymbol{a}=(m+1)\boldsymbol{i}-3\boldsymbol{j}，b=i+(m−1)j\boldsymbol{b}=\boldsymbol{i}+(m-1)\boldsymbol{j}，(a+b)⊥(a−b)\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)\perp\left(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right)，则 m=‾m=\underline{\hspace{2em}}.

1997 · 上海 · 理 · 第 18 题（B） · 填空题

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19导数及其应用★★☆☆☆
设 f(x)=x2(2−x)f(x)=x^2(2-x)，则 f(x)f(x) 的单调递增区间是______.

1997 · 上海 · 理 · 第 19 题（B） · 填空题

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20概率与统计★★☆☆☆
从集合 {0,1,2,3,5,7,11}\{0,1,2,3,5,7,11\} 中任取 33 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0Ax+By+C=0 中的 AA，BB，CC，所得恰好经过坐标原点的直线的概率是______.

1997 · 上海 · 理 · 第 20 题（B） · 填空题

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21三角函数★★☆☆☆
已知 tan⁡α2=12\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}，求 sin⁡(α+π6)\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right) 的值.

1997 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★☆☆☆
公园要建造一个圆形的喷水池. 在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OAOA. OO 恰在水面中心，OA=1.25 米OA=1.25\text{ 米}. 安置在柱子顶端 AA 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OAOA 的任一平面上抛物线路径如图所示. 为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到 OAOA 距离为 1 米1\text{ 米} 处达到距水面最大高度 2.25 米2.25\text{ 米}. 如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外.

1997 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A′B′C′ABC-A'B'C' 中，四边形 A′ABB′A'ABB' 是菱形，四边形 BCC′B′BCC'B' 是矩形，C′B′⊥ABC'B' \perp AB.
(1) 求证：平面 CA′B⊥CA'B \perp 平面 A′ABA'AB； (2) 若 C′B′=3C'B'=3，AB=4AB=4，∠ABB′=60∘\angle ABB'=60^\circ，求 AC′AC' 与平面 BCC′BCC' 所成角的大小（用反三角函数表示）.

1997 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24解析几何★★★★☆
如图，抛物线 C1:y=−x2C_1:y=-x^2 与抛物线 C2:y=x2−2axC_2:y=x^2-2ax（a>0a>0）交于 OO，AA 两点.
(1) 把 C1C_1 与 C2C_2 所围成的图形（阴影部分）绕 xx 轴旋转一周，求所得几何体的体积 VV； (2) 若过原点的直线 ll 与抛物线 C2C_2 所围成的图形面积为 92a3\frac{9}{2}a^3，求直线 ll 的方程.

1997 · 上海 · 理 · 第 24 题（B） · 解答题

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24复数★★★★☆
设虚数 z1z_1，z2z_2 满足 z12=z2z_1^2=z_2.
(1) 若 z1z_1，z2z_2 又是一个实系数一元二次方程的两个根，求 z1z_1，z2z_2； (2) 若 z1=1+miz_1=1+m\mathrm{i}（m>0m>0，i\mathrm{i} 为虚数单位），ω=z2−2\omega=z_2-2，ω\omega 的辐角主值为 θ\theta，求 θ\theta 的取值范围.

1997 · 上海 · 理 · 第 24 题（A） · 解答题

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