已知过抛物线 $y^{2} = 2px$ （$p > 0$） 的焦点，斜率为 $2\sqrt{2}$ 的直线交抛物线于 $A(x_{1}, y_{1})$，$B(x_{2}, y_{2})$ （$x_{1} < x_{2}$） 两点，且 $|AB| = 9$.

(1) 求该抛物线的方程； (2) O 为坐标原点，C 为抛物线上一点. 若 $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{OB}$，求 $\lambda$ 的值.

设 $f(x) = \frac{1}{3} x^3 + mx^2 + nx$.

(1) 如果 $g(x) = f'(x) - 2x - 3$ 在 $x = -2$ 处取得最小值 $-5$，求 $f(x)$ 的解析式； (2) 如果 $m + n < 10$ （$m$，$n \in \mathbf{N}_+$），$f(x)$ 的单调递减区间的长度是正整数，试求 $m$ 和 $n$ 的值. （注：区间 $(a, b)$ 的长度为 $b - a$）