如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形 $SAB$，$Q$ 为底面圆周上一点.

(1) 如果 $QB$ 的中点为 $C$，$OH \perp SC$，求证 $OH \perp$ 平面 $SBQ$； (2) 如果 $\angle AOQ = 60^{\circ}$，$QB = 2\sqrt{3}$，求此圆锥的体积； (3) 如果二面角 $A-SB-Q$ 的大小为 $\arctan \frac{\sqrt{6}}{3}$，求 $\angle AOQ$ 的大小.

已知数列 $\{a_n\}$，$a_n > 0$（$n \in \mathbf{N}$），它的前 $n$ 项的和记为 $S_n$.

(1) 如果 $\{a_n\}$ 是一个首项为 $a$，公比为 $q$（$0 < q \leqslant 1$）的等比数列，且 $G_n = a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2$（$n \in \mathbf{N}$），求 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{G_n}$； (2) 如果 $S_1^2$，$S_2^2$，$\cdots$，$S_n^2$，$\cdots$ 是一个首项为 3，公差为 1 的等差数列，试比较 $S_n$ 与 $3na_n$（$n \in \mathbf{N}$）的大小.

如图，已知双曲线 $C: (1 - a^2)x^2 + a^2y^2 - a^2 = 0$（参数 $a > 0$）. 若 $C$ 的上半支的顶点为 $A$，且与直线 $y = -x$ 交于点 $P$. 以 $A$ 为焦点，$M(0,m)$ 为顶点的开口向下的抛物线通过点 $P$. 当 $C$ 的一条渐近线的斜率在区间 $\left[\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{2\sqrt{2}}{3}\right]$ 上变化时，求直线 $PM$ 斜率的最大值.