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01三角函数★☆☆☆☆
求值：cos⁡5π8cos⁡π8=\cos \frac{5\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8}=______.

1992 · 上海 · 第 1 题 · 填空题

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02计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+1x)8\left(x + \frac{1}{x}\right)^8 的展开式中 1x2\frac{1}{x^2} 的系数是______（结果用数值表示）.

1992 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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03三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+cos⁡2xy = \sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x 的最大值是______.

1992 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 log⁡5(x+1)−log⁡15(x−3)=1\log_5(x+1)-\log_{\frac{1}{5}}(x-3)=1 的解是______.

1992 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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05复数★★☆☆☆
计算 (3+i)6=(\sqrt{3} + \mathrm{i})^6=______（i\mathrm{i} 是虚数单位）.

1992 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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06解析几何★☆☆☆☆
如果直线 ll 与直线 x+y−1=0x + y - 1 = 0 关于 yy 轴对称，那么直线 ll 的方程是______.

1992 · 上海 · 第 6 题 · 填空题

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07立体几何初步★★☆☆☆
已知圆台的下底面半径为 8 cm8 \mathrm{~cm}，高为 6 cm6 \mathrm{~cm}，母线与下底面成 45∘45^\circ 的角，那么圆台的侧面积是______ cm2\mathrm{cm}^2（结果中保留 π\pi）.

1992 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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08函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数是 f−1(x)=x−1f^{-1}(x)=\sqrt{x}-1（x⩾0x \geqslant 0），那么函数 y=f(x)y = f(x) 的定义域是______.

1992 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
由 11，22，33，44，55 组成比 4000040000 小的没有重复数字的五位数的个数是______（结果用数值表示）.

1992 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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10立体几何初步★★★☆☆
如图，直平行六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的上底面 ABCDABCD 为菱形，∠BAD=60∘\angle BAD = 60^\circ，侧面为正方形. EE，FF 分别是 A1B1A_1B_1，AA1AA_1 的中点，MM 是 ACAC 与 BDBD 的交点，则 EFEF 与 B1MB_1M 所成角的大小为______（用反三角函数表示）.

1992 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11指数函数与对数函数★★☆☆☆
当 0<a<10 < a < 1 时，函数 y=axy = a^x 和 y=(a−1)x2y = (a - 1)x^2 的图象只可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

1992 · 上海 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数中，在区间 (0,1](0,1] 上为减函数的是（ ）
A.
y=log⁡axy = \log_a x
B.
y=xay = x^a
C.
y=cos⁡xy = \cos x
D.
y=arcsin⁡xy = \arcsin x

1992 · 上海 · 第 12 题 · 选择题

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13立体几何初步★★★☆☆
α\alpha，β\beta 是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面 α\alpha 与 β\beta 平行的是（ ）
A.
α\alpha，β\beta 都垂直平面 γ\gamma
B.
α\alpha 内不共线的三点到 β\beta 的距离都相等
C.
ll，mm 是 α\alpha 内两条直线，且 l∥βl \parallel \beta，m∥βm \parallel \beta
D.
ll，mm 是两条异面直线，且 l∥αl \parallel \alpha，m∥αm \parallel \alpha，l∥βl \parallel \beta，m∥βm \parallel \beta

1992 · 上海 · 第 13 题 · 选择题

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14三角函数★★☆☆☆
下列函数中，最小正周期为 π\pi 的偶函数是（ ）
A.
y=sin⁡2xy = \sin 2x
B.
y=cos⁡x2y = \cos \frac{x}{2}
C.
y=sin⁡2x+cos⁡2xy = \sin 2x + \cos 2x
D.
y=1−tan⁡2x1+tan⁡2xy = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}

1992 · 上海 · 第 14 题 · 选择题

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15解析几何★★☆☆☆
在方程
{x=sin⁡θ,y=cos⁡2θ\begin{cases} x = \sin \theta,\\ y = \cos 2\theta \end{cases}
（θ\theta 为参数）所表示的曲线上的一个点的坐标是（ ）
A.
(2,−7)(2,-7)
B.
(13,23)\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)
C.
(12,12)\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)
D.
(1,0)(1,0)

1992 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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16解析几何★☆☆☆☆
抛物线 (y+2)2=4(x+1)(y + 2)^2 = 4(x + 1) 的焦点坐标是（ ）
A.
(0,−2)(0,-2)
B.
(2,2)(2,2)
C.
(1,−2)(1,-2)
D.
(3,2)(3,2)

1992 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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17立体几何初步★★☆☆☆
下列命题中的真命题是（ ）
A.
各侧面都是矩形的棱柱是长方体
B.
有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C.
各侧面都是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥
D.
有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是四棱台

1992 · 上海 · 第 17 题 · 选择题

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18函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=arccos⁡1xy = \arccos \frac{1}{\sqrt{x}} 的值域是（ ）
A.
[0,π2)\left[0,\frac{\pi}{2}\right)
B.
(0,π2]\left(0,\frac{\pi}{2}\right]
C.
[0,π)\left[0,\pi\right)
D.
(0,π]\left(0,\pi\right]

1992 · 上海 · 第 18 题 · 选择题

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19解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，与圆 ρ=4sin⁡θ\rho = 4\sin \theta 相切的一条直线的方程是（ ）
A.
ρsin⁡θ=2\rho \sin \theta = 2
B.
ρcos⁡θ=2\rho \cos \theta = 2
C.
ρcos⁡θ=4\rho \cos \theta = 4
D.
ρcos⁡θ=−4\rho \cos \theta = -4

1992 · 上海 · 第 19 题 · 选择题

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20集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 M={x∣x>2}M = \{x \mid x > 2\}，P={x∣x<3}P = \{x \mid x < 3\}，那么“x∈Mx \in M 或 x∈Px \in P”是“x∈M∩Px \in M \cap P”的（ ）
A.
充分条件但非必要条件
B.
必要条件但非充分条件
C.
充分必要条件
D.
非充分条件也非必要条件

1992 · 上海 · 第 20 题 · 选择题

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21三角函数★★★☆☆
已知 cos⁡2α=725\cos 2\alpha = \frac{7}{25}，α∈(0,π2)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，sin⁡β=−513\sin \beta = -\frac{5}{13}，β∈(π,3π2)\beta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)，求 α+β\alpha + \beta（用反三角函数表示）.

1992 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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22复数★★★☆☆
设 w=z+aiw = z + a\mathrm{i}，其中 aa 是实数，z=(1−4i)(1+i)+2+4i3+4iz = \frac{(1 - 4\mathrm{i})(1 + \mathrm{i}) + 2 + 4\mathrm{i}}{3 + 4\mathrm{i}}，且 ∣w∣⩽2|w| \leqslant \sqrt{2}，求 ww 的辐角主值 θ\theta 的取值范围.

1992 · 上海 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
设动直线 ll 垂直于 xx 轴，且与椭圆 x24+y22=1\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1 交于 AA，BB 两点，PP 是 ll 上满足 ∣PA∣⋅∣PB∣=1|PA| \cdot |PB| = 1 的点，求点 PP 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

1992 · 上海 · 第 23 题 · 解答题

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24立体几何初步★★★★☆
如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形 SABSAB，QQ 为底面圆周上一点.
(1) 如果 QBQB 的中点为 CC，OH⊥SCOH \perp SC，求证 OH⊥OH \perp 平面 SBQSBQ； (2) 如果 ∠AOQ=60∘\angle AOQ = 60^{\circ}，QB=23QB = 2\sqrt{3}，求此圆锥的体积； (3) 如果二面角 A−SB−QA-SB-Q 的大小为 arctan⁡63\arctan \frac{\sqrt{6}}{3}，求 ∠AOQ\angle AOQ 的大小.

1992 · 上海 · 第 24 题 · 解答题

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25数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\}，an>0a_n > 0（n∈Nn \in \mathbf{N}），它的前 nn 项的和记为 SnS_n.
(1) 如果 {an}\{a_n\} 是一个首项为 aa，公比为 qq（0<q⩽10 < q \leqslant 1）的等比数列，且 Gn=a12+a22+⋯+an2G_n = a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2（n∈Nn \in \mathbf{N}），求 lim⁡n→∞SnGn\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{G_n}； (2) 如果 S12S_1^2，S22S_2^2，⋯\cdots，Sn2S_n^2，⋯\cdots 是一个首项为 3，公差为 1 的等差数列，试比较 SnS_n 与 3nan3na_n（n∈Nn \in \mathbf{N}）的大小.

1992 · 上海 · 第 25 题 · 解答题

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