如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 $C$，各段弧所在的圆经过同一点 $P$（点 $P$ 不在 $C$ 上）且半径相等. 设第 $i$ 段弧所对的圆心角 $\alpha_i$（$i = 1$，$2$，$3$），则 $\cos \frac{\alpha_1}{3} \cos \frac{\alpha_2 + \alpha_3}{3} - \sin \frac{\alpha_1}{3} \sin \frac{\alpha_2 + \alpha_3}{3} =$______.

如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$PA = AB = \sqrt{2}$，点 $E$ 是棱 $PB$ 的中点.

(1) 证明：$AE \perp$ 平面 $PBC$； (2) 若 $AD = 1$，求二面角 $B - EC - D$ 的平面角的余弦值.