已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$. 离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程； (2) 若动点 $P(x_0, y_0)$ 为椭圆 $C$ 外一点，且点 $P$ 到椭圆 $C$ 的两条切线相互垂直，求点 $P$ 的轨迹方程.