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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 M={−1,0,1}M = \{-1, 0, 1\}，N={0,1,2}N = \{0, 1, 2\}，则 M∪N=M \cup N =（ ）
A.
{0,1}\{0, 1\}
B.
{−1,0,2}\{-1, 0, 2\}
C.
{−1,0,1,2}\{-1, 0, 1, 2\}
D.
{−1,0,1}\{-1, 0, 1\}

2014 · 广东 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
已知复数 zz 满足 (3+4i)z=25(3 + 4\mathrm{i})z = 25，则 z=z =（ ）
A.
−3+4i-3 + 4\mathrm{i}
B.
−3−4i-3 - 4\mathrm{i}
C.
3+4i3 + 4\mathrm{i}
D.
3−4i3 - 4\mathrm{i}

2014 · 广东 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{y⩽x,x+y⩽1,y⩾−1,\begin{cases} y \leqslant x,\\ x + y \leqslant 1,\\ y \geqslant -1, \end{cases}
且 z=2x+yz = 2x + y 的最大值和最小值分别为 mm 和 nn，则 m−n=m - n =（ ）
A.
55
B.
66
C.
77
D.
88

2014 · 广东 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★☆☆☆
若实数 kk 满足 0<k<90 < k < 9，则曲线 x225−y29−k=1\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9-k} = 1 与曲线 x225−k−y29=1\frac{x^{2}}{25-k} - \frac{y^{2}}{9} = 1 的（ ）
A.
焦距相等
B.
实半轴长相等
C.
虚半轴长相等
D.
离心率相等

2014 · 广东 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,0,−1)\boldsymbol{a} = (1, 0, -1)，则下列向量中与 a\boldsymbol{a} 成 60∘60^{\circ} 角的是（ ）
A.
(−1,1,0)(-1, 1, 0)
B.
(1,−1,0)(1, -1, 0)
C.
(0,−1,1)(0, -1, 1)
D.
(−1,0,1)(-1, 0, 1)

2014 · 广东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★☆☆☆☆
已知某地区中小学生人数和近视情况如图 1 和图 2 所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%2\% 的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A.
200,20200,20
B.
100,20100,20
C.
200,10200,10
D.
100,10100,10

2014 · 广东 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
若空间中四条两两不同的直线 l1l_{1}，l2l_{2}，l3l_{3}，l4l_{4}，满足 l1⊥l2l_{1} \perp l_{2}，l2⊥l3l_{2} \perp l_{3}，l3⊥l4l_{3} \perp l_{4}，则下列结论一定正确的是（ ）
A.
l1⊥l4l_{1} \perp l_{4}
B.
l1∥l4l_{1} \parallel l_{4}
C.
l1l_{1}，l4l_{4} 既不垂直也不平行
D.
l1l_{1}，l4l_{4} 的位置关系不确定

2014 · 广东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★★☆☆
设集合 A={(x1,x2,x3,x4,x5)∣xi∈{−1,0,1},i=1,2,3,4,5}A = \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) \mid x_{i} \in \{-1, 0, 1\}, i = 1, 2, 3, 4, 5\}，那么集合 AA 中满足条件“1⩽∣x1∣+∣x2∣+∣x3∣+∣x4∣+∣x5∣⩽31 \leqslant |x_{1}| + |x_{2}| + |x_{3}| + |x_{4}| + |x_{5}| \leqslant 3”的元素个数为（ ）
A.
6060
B.
9090
C.
120120
D.
130130

2014 · 广东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★☆☆☆
不等式 ∣x−1∣+∣x+2∣⩾5|x - 1| + |x + 2| \geqslant 5 的解集为______.

2014 · 广东 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=e−5x+2y = \mathrm{e}^{-5x} + 2 在点 (0,3)(0, 3) 处的切线方程为______.

2014 · 广东 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11概率与统计★★☆☆☆
从 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为______.

2014 · 广东 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对应的边分别为 aa，bb，cc，已知 bcos⁡C+ccos⁡B=2bb \cos C + c \cos B = 2b，则 ab=\frac{a}{b} =______.

2014 · 广东 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13数列★★★☆☆
若等比数列 {an}\{a_{n}\} 的各项均为正数，且 a10a11+a9a12=2e5a_{10}a_{11} + a_{9}a_{12} = 2\mathrm{e}^{5}，则 ln⁡a1+ln⁡a2+⋯+ln⁡a20=‾\ln a_1 + \ln a_2 + \cdots + \ln a_{20} =\underline{\hspace{2em}}.

2014 · 广东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，曲线 C1C_1 和 C2C_2 的方程分别为 ρsin⁡2θ=cos⁡θ\rho \sin^2 \theta = \cos \theta 和 ρsin⁡θ=1\rho \sin \theta = 1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 xx 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1C_1 和 C2C_2 的交点的直角坐标为______.

2014 · 广东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，在平行四边形 ABCDABCD 中，点 EE 在 ABAB 上，且 EB=2AEEB = 2AE，ACAC 与 DEDE 交于点 FF，则 △CDF\triangle CDF 的面积与 △AEF\triangle AEF 的面积之比为______.

2014 · 广东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(x+π4)f(x) = A \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)，x∈Rx \in \mathbf{R}，且 f(5π12)=32f\left( \frac{5\pi}{12} \right) = \frac{3}{2}.
(1) 求 AA 的值； (2) 若 f(θ)+f(−θ)=32f(\theta) + f(-\theta) = \frac{3}{2}，θ∈(0,π2)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，求 f(34π−θ)f\left(\frac{3}{4}\pi - \theta\right).

2014 · 广东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
(30,35](30,35]50.20
(35,40](35,40]80.32
(40,45](40,45]n1n_1f1f_1
(45,50](45,50]n2n_2f2f_2
(1) 确定样本频率分布表中 n1n_1，n2n_2，f1f_1 和 f2f_2 的值； (2) 根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； (3) 根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间 (30,35](30,35] 的概率.

2014 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四边形 ABCDABCD 为正方形，PD⊥PD \perp 平面 ABCDABCD，∠DPC=30∘\angle DPC = 30^{\circ}，AF⊥PCAF \perp PC 于点 FF，FE∥CDFE \parallel CD，交 PDPD 于点 EE.
(1) 证明：CF⊥CF \perp 平面 ADFADF； (2) 求二面角 D−AF−ED - AF - E 的余弦值.

2014 · 广东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 和为 SnS_{n}，满足 Sn=2nan+1−3n2−4nS_{n} = 2na_{n+1} - 3n^{2} - 4n，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，且 S3=15S_{3} = 15.
(1) 求 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 的值； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2014 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的一个焦点为 (5,0)(\sqrt{5}, 0). 离心率为 53\frac{\sqrt{5}}{3}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 若动点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 为椭圆 CC 外一点，且点 PP 到椭圆 CC 的两条切线相互垂直，求点 PP 的轨迹方程.

2014 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=1(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)−3f(x) = \frac{1}{\sqrt{(x^2 + 2x + k)^2 + 2(x^2 + 2x + k) - 3}}，其中 k<−2k < -2.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的定义域 DD（用区间表示）； (2) 讨论 f(x)f(x) 在区间 DD 上的单调性； (3) 若 k<−6k < -6，求 DD 上满足条件 f(x)>f(1)f(x) > f(1) 的 xx 的集合（用区间表示）.

2014 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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