如图，正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的棱长为 2 ，动点 $E$，$F$ 在棱 $A_{1}B_{1}$ 上. 点 $Q$ 是棱 $CD$ 的中点，动点 $P$ 在棱 $AD$ 上，若 $EF = 1$，$DP = x$，$A_{1}E = y$（$x$，$y$ 大于零），则三棱锥 $P - EFQ$ 的体积（ ）

如图放置的边长为 1 的正方形 $PABC$ 沿 $x$ 轴滚动. 设顶点 $P(x, y)$ 的纵坐标与横坐标的函数关系是 $y = f(x)$，则 $f(x)$ 的最小正周期为______；$y = f(x)$ 在其两个相邻零点间的图象与 $x$ 轴所围区域的面积为______.

说明：“正方形 $PABC$ 沿 $x$ 轴滚动”包括沿 $x$ 轴正方向和沿 $x$ 轴负方向滚动. 沿 $x$ 轴正方向滚动指的是先以顶点 $A$ 为中心顺时针旋转，当顶点 $B$ 落在 $x$ 轴上时，再以顶点 $B$ 为中心顺时针旋转，如此继续. 类似地，正方形 $PABC$ 可以沿 $x$ 轴负方向滚动.

已知椭圆 $C$ 的左，右焦点坐标分别是 $(- \sqrt{2}, 0)$，$(\sqrt{2}, 0)$，离心率是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$. 直线 $y = t$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$，$N$，以线段 $MN$ 为直径作圆 $P$，圆心为 $P$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 若圆 $P$ 与 $x$ 轴相切，求圆心 $P$ 的坐标； (3) 设 $Q(x,y)$ 是圆 $P$ 上的动点，当 $t$ 变化时，求 $y$ 的最大值.

已知集合 $S_{n} = \{X \mid X = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, \cdots, n\}$（$n \geqslant 2$），对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})$，$B = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}) \in S_{n}$，定义 $A$ 与 $B$ 的差为 $A - B = (|a_{1} - b_{1}|, |a_{2} - b_{2}|, \cdots, |a_{n} - b_{n}|)$； $A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d(A, B) = \sum_{i=1}^{n} |a_{i} - b_{i}|$.

(1) 当 $n = 5$ 时，设 $A = (0, 1, 0, 0, 1)$，$B = (1, 1, 1, 0, 0)$，求 $A - B$，$d(A, B)$； (2) 证明： $\forall A$，$B$，$C \in S_n$，有 $A - B \in S_n$，且 $d(A - C, B - C) = d(A, B)$； (3) 证明： $\forall A$，$B$，$C \in S_n$，$d(A, B)$，$d(A, C)$，$d(B, C)$ 三个数中至少有一个是偶数.