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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
集合 P={x∈Z∣0⩽x<3}P = \{x \in \mathbf{Z} \mid 0 \leqslant x < 3\}，M={x∈Z∣x2⩽9}M = \{x \in \mathbf{Z} \mid x^2 \leqslant 9\}，则 P∩M=P \cap M =（ ）
A.
{1,2}\{1, 2\}
B.
{0,1,2}\{0, 1, 2\}
C.
{1,2,3}\{1, 2, 3\}
D.
{0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\}

2010 · 北京 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
在复平面内，复数 6+5i6 + 5\mathrm{i}，−2+3i-2 + 3\mathrm{i} 对应的点分别为 AA，BB. 若 CC 为线段 ABAB 的中点，则点 CC 对应的复数是（ ）
A.
4+8i4 + 8\mathrm{i}
B.
8+2i8 + 2\mathrm{i}
C.
2+4i2 + 4\mathrm{i}
D.
4+i4 + \mathrm{i}

2010 · 北京 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03概率与统计★☆☆☆☆
从 {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\} 中随机选取一个数为 aa，从 {1,2,3}\{1,2,3\} 中随机选取一个数为 bb，则 b>ab > a 的概率是（ ）
A.
45\frac{4}{5}
B.
35\frac{3}{5}
C.
25\frac{2}{5}
D.
15\frac{1}{5}

2010 · 北京 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
若 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是非零向量，且 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，∣a∣≠∣b∣|\boldsymbol{a}| \neq |\boldsymbol{b}|，则函数 f(x)=(xa+b)⋅(xb−a)f(x) = (x\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (x\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) 是（ ）
A.
一次函数且是奇函数
B.
一次函数但不是奇函数
C.
二次函数且是偶函数
D.
二次函数但不是偶函数

2010 · 北京 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（ ）
A.
B.
C.
D.

2010 · 北京 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
给定函数：
① y=x2y = x^{2} ② y=log⁡12(x+1)y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 1) ③ y=∣x−1∣y = |x - 1| ④ y=2x+1y = 2^{x + 1}
其中在区间 (0,1)(0, 1) 上单调递减的函数序号是（ ）
A.
①②
B.
②③
C.
③④
D.
①④

2010 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为 1，顶角为 α\alpha 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）
A.
2sin⁡α−2cos⁡α+22\sin \alpha - 2\cos \alpha + 2
B.
sin⁡α−3cos⁡α+3\sin \alpha -\sqrt{3}\cos \alpha +3
C.
3sin⁡α−3cos⁡α+13\sin \alpha -\sqrt{3}\cos \alpha +1
D.
2sin⁡α−cos⁡α+12\sin \alpha -\cos \alpha +1

2010 · 北京 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 2 ，动点 EE，FF 在棱 A1B1A_{1}B_{1} 上. 点 QQ 是棱 CDCD 的中点，动点 PP 在棱 ADAD 上，若 EF=1EF = 1，DP=xDP = x，A1E=yA_{1}E = y（xx，yy 大于零），则三棱锥 P−EFQP - EFQ 的体积（ ）
A.
与 x,yx, y 都有关
B.
与 xx，yy 都无关
C.
与 xx 有关，与 yy 无关
D.
与 yy 有关，与 xx 无关

2010 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数
y={log⁡2x,x⩾22−x,x<2y = \begin{cases} \log_{2} x, & x \geqslant 2\\ 2 - x, & x < 2 \end{cases}
，如图表示的是给定 xx 的值，求其对应的函数值 yy 的程序框图. ① 应填写______；② 应填写______.

2010 · 北京 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 b=1b = 1，c=3c = \sqrt{3}，∠C=2π3\angle C = \frac{2\pi}{3}，则 a=a =______.

2010 · 北京 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
若点 P(m,3)P(m,3) 到直线 4x−3y+1=04x - 3y + 1 = 0 的距离为4，且点 PP 在不等式 2x+y<32x + y < 3 表示的平面区域内，则 m=‾m =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 北京 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★★☆☆☆
从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）. 由图中数据可知 a=a =______. 若要从身高在 [120,130)[120, 130)，[130,140)[130, 140)，[140,150][140, 150] 三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在 [140,150][140, 150] 内的学生中选取的人数应为______.

2010 · 北京 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的离心率为 2，焦点与椭圆 x225+y29=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为______.

2010 · 北京 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
如图放置的边长为 1 的正方形 PABCPABC 沿 xx 轴滚动. 设顶点 P(x,y)P(x, y) 的纵坐标与横坐标的函数关系是 y=f(x)y = f(x)，则 f(x)f(x) 的最小正周期为______；y=f(x)y = f(x) 在其两个相邻零点间的图象与 xx 轴所围区域的面积为______.
说明：“正方形 PABCPABC 沿 xx 轴滚动”包括沿 xx 轴正方向和沿 xx 轴负方向滚动. 沿 xx 轴正方向滚动指的是先以顶点 AA 为中心顺时针旋转，当顶点 BB 落在 xx 轴上时，再以顶点 BB 为中心顺时针旋转，如此继续. 类似地，正方形 PABCPABC 可以沿 xx 轴负方向滚动.

2010 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2cos⁡2x+sin⁡2xf(x)=2\cos 2x+\sin^2 x.
(1) 求 f(π3)f\left(\frac{\pi}{3}\right) 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的最大值和最小值.

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16数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 为等差数列，且 a3=−6a_{3} = -6，a6=0a_{6} = 0.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若等比数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 b1=−8b_{1} = -8，b2=a1+a2+a3b_{2} = a_{1} + a_{2} + a_{3}，求 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和公式.

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，正方形 ABCDABCD 和四边形 ACEFACEF 所在的平面互相垂直，EF∥ACEF \parallel AC，AB=2AB = \sqrt{2}，CE=EF=1CE = EF = 1.
(1) 求证：AF∥AF \parallel 平面 BDEBDE； (2) 求证：CF⊥CF \perp 平面 BDEBDE.

2010 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=a3x3+bx2+cx+df(x) = \frac{a}{3} x^3 + bx^2 + cx + d （a>0a > 0），且方程 f′(x)−9x=0f'(x) - 9x = 0 的两个根分别为 1，4.
(1) 当 a=3a = 3 且曲线 y=f(x)y = f(x) 过原点时，求 f(x)f(x) 的解析式； (2) 若 f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 内无极值点，求 a 的取值范围.

2010 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC 的左，右焦点坐标分别是 (−2,0)(- \sqrt{2}, 0)，(2,0)(\sqrt{2}, 0)，离心率是 63\frac{\sqrt{6}}{3}. 直线 y=ty = t 与椭圆 CC 交于不同的两点 MM，NN，以线段 MNMN 为直径作圆 PP，圆心为 PP.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 若圆 PP 与 xx 轴相切，求圆心 PP 的坐标； (3) 设 Q(x,y)Q(x,y) 是圆 PP 上的动点，当 tt 变化时，求 yy 的最大值.

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20集合与逻辑基础★★★★☆
已知集合 Sn={X∣X=(x1,x2,…,xn),xi∈{0,1},i=1,2,⋯ ,n}S_{n} = \{X \mid X = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, \cdots, n\}（n⩾2n \geqslant 2），对于 A=(a1,a2,⋯ ,an)A = (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})，B=(b1,b2,⋯ ,bn)∈SnB = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}) \in S_{n}，定义 AA 与 BB 的差为 A−B=(∣a1−b1∣,∣a2−b2∣,⋯ ,∣an−bn∣)A - B = (|a_{1} - b_{1}|, |a_{2} - b_{2}|, \cdots, |a_{n} - b_{n}|)； AA 与 BB 之间的距离为 d(A,B)=∑i=1n∣ai−bi∣d(A, B) = \sum_{i=1}^{n} |a_{i} - b_{i}|.
(1) 当 n=5n = 5 时，设 A=(0,1,0,0,1)A = (0, 1, 0, 0, 1)，B=(1,1,1,0,0)B = (1, 1, 1, 0, 0)，求 A−BA - B，d(A,B)d(A, B)； (2) 证明： ∀A\forall A，BB，C∈SnC \in S_n，有 A−B∈SnA - B \in S_n，且 d(A−C,B−C)=d(A,B)d(A - C, B - C) = d(A, B)； (3) 证明： ∀A\forall A，BB，C∈SnC \in S_n，d(A,B)d(A, B)，d(A,C)d(A, C)，d(B,C)d(B, C) 三个数中至少有一个是偶数.

2010 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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