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18立体几何初步★★★★☆
如图，在底面是菱形的四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^{\circ}，PA=AC=aPA = AC = a，PB=PD=2aPB = PD = \sqrt{2}a，点 EE 是 PDPD 的中点.
(1) 证明：PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，PB∥PB \parallel 平面 EACEAC； (2) 求以 ACAC 为棱，EACEAC 与 DACDAC 为面的二面角 θ\theta 的正切值.

2004 · 湖南 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 是首项为 aa 且公比 qq 不等于1的等比数列，SnS_{n} 是其前 nn 项的和，且 a1a_{1}，2a72a_{7}，3a43a_{4} 成等差数列.
(1) 证明：12S312S_{3}，S6S_{6}，S12−S6S_{12}-S_{6} 成等比数列； (2) 求和 Tn=a1+2a4+3a7+⋯+na3n−2T_{n}=a_{1}+2a_{4}+3a_{7}+\cdots+na_{3n-2}.

2004 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
如图，已知曲线 C1:y=x3C_1: y = x^3（x⩾0x \geqslant 0）与曲线 C2:y=−2x3+3xC_2: y = -2x^3 + 3x（x⩾0x \geqslant 0）交于 OO，AA，直线 x=tx = t（0<t<10 < t < 1）与曲线 C1C_1，C2C_2 分别交于 BB，DD.
(1) 写出四边形 ABODABOD 的面积 SS 与 tt 的函数关系式 S=f(t)S = f(t)； (2) 讨论 f(t)f(t) 的单调性，并求 f(t)f(t) 的最大值.

2004 · 湖南 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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