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01函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=lg⁡(1−1x)y = \lg \left(1 - \frac{1}{x}\right) 的定义域为（\quad）
A.
{x∣x<0}\{x\mid x < 0\}
B.
{x∣x>1}\{x\mid x > 1\}
C.
{x∣0<x<1}\{x\mid 0 < x < 1\}
D.
{x∣x<0或x>1}\{x\mid x < 0\text{或} x > 1\}

2004 · 湖南 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★★☆☆☆
设直线 ax+by+c=0ax + by + c = 0 的倾斜角为 α\alpha，且 sin⁡α+cos⁡α=0\sin \alpha + \cos \alpha = 0，则 aa，bb 满足（\quad）
A.
a+b=1a + b = 1
B.
a−b=1a - b = 1
C.
a+b=0a + b = 0
D.
a−b=0a - b = 0

2004 · 湖南 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
设 f−1(x)f^{-1}(x) 是函数 f(x)=xf(x) = \sqrt{x} 的反函数，则下列不等式中恒成立的是（\quad）
A.
f−1(x)⩽2x−1f^{-1}(x)\leqslant 2x - 1
B.
f−1(x)⩽2x+1f^{-1}(x)\leqslant 2x + 1
C.
f−1(x)⩾2x−1f^{-1}(x)\geqslant 2x - 1
D.
f−1(x)⩾2x+1f^{-1}(x)\geqslant 2x + 1

2004 · 湖南 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★☆☆☆
如果双曲线 x213−y212=1\frac{x^2}{13} - \frac{y^2}{12} = 1 上一点 PP 到右焦点的距离等于 13\sqrt{13}，那么点 PP 到右准线的距离是（\quad）
A.
135\frac{13}{5}
B.
1313
C.
55
D.
513\frac{5}{13}

2004 · 湖南 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
把正方形 ABCDABCD 沿对角线 ACAC 折起，当以 AA，BB，CC，DD 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BDBD 和平面 ABCABC 所成的角的大小为（\quad）
A.
90∘90^{\circ}
B.
60∘60^{\circ}
C.
45∘45^{\circ}
D.
30∘30^{\circ}

2004 · 湖南 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★☆☆☆☆
某公司在甲，乙，丙，丁四个地区分别有 150 个150\text{ 个}，120 个120\text{ 个}，180 个180\text{ 个}，150 个150\text{ 个}销售点. 公司为了调查产品销售的情况，需完成以下两项调查：
① 从这 600 个600\text{ 个}销售点中抽取一个容量为 100100 的样本； ② 在丙地区的 20 个20\text{ 个}特大型销售点中抽取 77 个，调查其销售收入和售后服务情况.
记这两项调查分别为\circled1\circled{1}、\circled2\circled{2}，则宜采用的抽样方法依次是（\quad）
A.
分层抽样，系统抽样法
B.
分层抽样法，简单随机抽样法
C.
系统抽样法，分层抽样法
D.
简单随机抽样法，分层抽样法

2004 · 湖南 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=−x2+2axf(x) = -x^{2} + 2ax 与 g(x)=ax+1g(x) = \frac{a}{x + 1} 在区间 [1,2]\left[1,2\right] 上都是减函数，则 aa 的值范围是（\quad）
A.
(−1,0)∪(0,1)(-1,0)\cup (0,1)
B.
(−1,0)∪(0,1](-1,0)\cup (0,1]
C.
(0,1)(0,1)
D.
(0,1](0,1]

2004 · 湖南 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡θ,sin⁡θ)\boldsymbol{a} = (\cos \theta, \sin \theta)，向量 b=(3,−1)\boldsymbol{b} = (\sqrt{3}, -1)，则 ∣2a−b∣\left|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right| 的最大值，最小值分别是（\quad）
A.
42,04\sqrt{2}, 0
B.
44，424\sqrt{2}
C.
16,016, 0
D.
4,04, 0

2004 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09导数及其应用★★☆☆☆
若函数 f(x)=x2+bx+cf(x) = x^{2} + bx + c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f′(x)f'(x) 的图象是（\quad）
A.
B.
C.
D.

2004 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★☆☆
从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（\quad）
A.
5656
B.
5252
C.
4848
D.
4040

2004 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★☆☆☆
农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成. 2003年某地区农民人均收入为3150 元3150\text{ 元}（其中工资性收入为1800 元1800\text{ 元}，其它收入为1350 元1350\text{ 元}），预计该地区自2004年起的5 年5\text{ 年}内，农民的工资性收入将以每年6%6\%的年增长率增长，其它收入每年增加160 元160\text{ 元}. 根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（\quad）
A.
4200 元∼4400 元4200\text{ 元}\sim 4400\text{ 元}
B.
4400 元∼4600 元4400\text{ 元}\sim 4600\text{ 元}
C.
4600 元∼4800 元4600\text{ 元}\sim 4800\text{ 元}
D.
4800 元∼5000 元4800\text{ 元}\sim 5000\text{ 元}

2004 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 U={(x,y)∣x∈R,y∈R}U = \{(x, y) \mid x \in \mathbf{R}, y \in \mathbf{R}\}，A={(x,y)∣2x−y+m>0}A = \{(x, y) \mid 2x - y + m > 0\}，B={(x,y)∣x+y−n⩽0}B = \{(x, y) \mid x + y - n \leqslant 0\}，那么点 P(2,3)∈A∩(∁UB)P(2,3) \in A \cap (\complement_U B) 的充要条件是（\quad）
A.
m>−1,n<5m > -1, n < 5
B.
m<−1m < -1，n<5n < 5
C.
m>−1m > -1，n>5n > 5
D.
m<−1m < -1，n>5n > 5

2004 · 湖南 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13导数及其应用★★☆☆☆
过点 P(−1,2)P(-1,2) 且与曲线 y=3x2−4x+2y = 3x^{2} - 4x + 2 在点 M(1,1)M(1,1) 处的切线平行的直线方程是______.

2004 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2+1x)9\left(x^{2} + \frac{1}{x}\right)^{9} 的展开式中的常数项为______.

2004 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
F1F_{1}，F2F_{2} 是椭圆 C:x28+y24=1C: \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1 的焦点. 在 CC 上满足 PF1⊥PF2PF_{1} \perp PF_{2} 的点 PP 的个数为______.

2004 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16指数函数与对数函数★★★☆☆
若直线 y=2ay = 2a 与函数 y=∣ax−1∣y = |a^{x} - 1|（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的图象有两个公共点，则 aa 的取值范围是______.

2004 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★☆☆☆
tan⁡(π4+α)=2\tan \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = 2，求 12sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha} 的值.

2004 · 湖南 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，在底面是菱形的四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^{\circ}，PA=AC=aPA = AC = a，PB=PD=2aPB = PD = \sqrt{2}a，点 EE 是 PDPD 的中点.
(1) 证明：PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，PB∥PB \parallel 平面 EACEAC； (2) 求以 ACAC 为棱，EACEAC 与 DACDAC 为面的二面角 θ\theta 的正切值.

2004 · 湖南 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
甲，乙，丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 14\frac{1}{4}，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 112\frac{1}{12}，甲，丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 29\frac{2}{9}.
(1) 分别求甲，乙，丙三台机床各自加工零件是一等品的概率； (2) 从甲，乙，丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.

2004 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 是首项为 aa 且公比 qq 不等于1的等比数列，SnS_{n} 是其前 nn 项的和，且 a1a_{1}，2a72a_{7}，3a43a_{4} 成等差数列.
(1) 证明：12S312S_{3}，S6S_{6}，S12−S6S_{12}-S_{6} 成等比数列； (2) 求和 Tn=a1+2a4+3a7+⋯+na3n−2T_{n}=a_{1}+2a_{4}+3a_{7}+\cdots+na_{3n-2}.

2004 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
如图，已知曲线 C1:y=x3C_1: y = x^3（x⩾0x \geqslant 0）与曲线 C2:y=−2x3+3xC_2: y = -2x^3 + 3x（x⩾0x \geqslant 0）交于 OO，AA，直线 x=tx = t（0<t<10 < t < 1）与曲线 C1C_1，C2C_2 分别交于 BB，DD.
(1) 写出四边形 ABODABOD 的面积 SS 与 tt 的函数关系式 S=f(t)S = f(t)； (2) 讨论 f(t)f(t) 的单调性，并求 f(t)f(t) 的最大值.

2004 · 湖南 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，过抛物线 x2=4yx^{2} = 4y 的对称轴上任一点 P(0,m)P(0, m)（m>0m > 0）作直线与抛物线交于 AA，BB 两点，点 QQ 是点 PP 关于原点的对称点.
(1) 设点 PP 分有向线段 AB→\overrightarrow{AB} 所成的比为 λ\lambda. 证明：QP→⊥(QA→−λQB→)\overrightarrow{QP} \perp (\overrightarrow{QA} - \lambda \overrightarrow{QB})； (2) 设直线 ABAB 的方程是 x−2y+12=0x - 2y + 12 = 0，过 AA，BB 两点的圆 CC 与抛物线在点 AA 处有共同的切线，求圆 CC 的方程.

2004 · 湖南 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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