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21
立体几何初步
★★★★☆
平行六面体成为直平行六面体的一个充分必要条件是（ ）
A.
它有两个矩形的侧面
B.
它的一条侧棱垂直于底面的两条边
C.
它有两条侧棱都垂直于底面的一条边
D.
它有两个侧面都垂直于底面
1987 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 选择题
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31
立体几何初步
★★★★☆
在三棱台
A
1
B
1
C
1
−
A
B
C
A_{1}B_{1}C_{1}-ABC
A
1
B
1
C
1
−
A
B
C
中，侧棱
B
1
B
⊥
B_{1}B \perp
B
1
B
⊥
底面
A
B
C
ABC
A
B
C
，且
∠
A
B
C
=
∠
A
A
1
C
=
π
2
\angle ABC = \angle AA_{1}C = \frac{\pi}{2}
∠
A
B
C
=
∠
A
A
1
C
=
2
π
，
A
B
=
2
A
1
B
1
=
2
c
m
AB = 2A_{1}B_{1} = 2\mathrm{~cm}
A
B
=
2
A
1
B
1
=
2
cm
.
(1) 求证：
B
C
⊥
A
1
B
BC \perp A_{1}B
B
C
⊥
A
1
B
，
B
C
⊥
A
1
A
BC \perp A_{1}A
B
C
⊥
A
1
A
，
A
1
A
⊥
A
1
B
A_{1}A \perp A_{1}B
A
1
A
⊥
A
1
B
； (2) 求异面直线
A
1
A
A_{1}A
A
1
A
和
B
C
BC
B
C
的距离.
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32
复数
★★★★☆
已知复数
z
=
cos
α
+
i
sin
α
z = \cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha
z
=
cos
α
+
i
sin
α
，
u
=
cos
β
+
i
sin
β
u = \cos \beta + \mathrm{i} \sin \beta
u
=
cos
β
+
i
sin
β
，且
z
+
u
=
4
5
+
3
5
i
z + u = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}\mathrm{i}
z
+
u
=
5
4
+
5
3
i
.
(1) 求
tan
(
α
+
β
)
\tan(\alpha+\beta)
tan
(
α
+
β
)
的值； (2) 求证：
z
2
+
u
2
+
z
u
=
0
z^{2}+u^{2}+zu=0
z
2
+
u
2
+
z
u
=
0
.
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