设椭圆的中心为原点 $O$，一个焦点为 $F(0,1)$，长轴和短轴的长度之比为 $t$.

(1) 求椭圆的方程； (2) 设经过原点且斜率为 $t$ 的直线与椭圆在 $y$ 轴右边部分的交点为 $Q$，点 $P$ 在该直线上，且 $\left|\frac{OP}{OQ}\right| = t\sqrt{t^2 - 1}$，当 $t$ 变化时，求点 $P$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

在直角坐标系 $xOy$ 中，设矩形 $OPQR$ 的顶点按逆时针顺序依次为 $O(0,0)$，$P(1,t)$，$Q(1-2t,2+t)$，$R(-2t,2)$，其中 $t \in (0,+\infty)$.

(1) 求矩形 $OPQR$ 在第一象限部分的面积 $S(t)$； (2) 确定函数 $S(t)$ 的单调区间，并加以证明.

已知数列 $\{a_n\}$ 满足条件：$a_1 = 1$，$a_2 = r$（$r > 0$），且 $\{a_n a_{n+1}\}$ 是公比为 $q$（$q > 0$）的等比数列. 设 $b_n = a_{2n-1} + a_{2n}$（$n = 1$，$2$，$\dots$）.

(1) 求出使不等式 $a_n a_{n+1} + a_{n+1} a_{n+2} > a_{n+2} a_{n+3}$（$n \in \mathbb{N}$）成立时 $q$ 的取值范围； (2) 求 $b_n$ 和 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{S_n}$，其中 $S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n$； (3) 设 $r = 2^{19.2} - 1$，$q = \frac{1}{2}$，求数列 $\left\{\frac{\log_2 b_{n+1}}{\log_2 b_n}\right\}$ 的最大项和最小项的值.