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01不等式★☆☆☆☆
不等式 ∣x+1∣<1|x + 1| < 1 的解是______.

1994 · 上海 · 第 1 题 · 填空题

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02三角函数★★☆☆☆
计算： sin⁡(12arccos⁡18)=\sin \left(\frac{1}{2} \arccos \frac{1}{8}\right) =______.

1994 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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03解析几何★☆☆☆☆
以点 C(−2,3)C(-2,3) 为圆心且与 yy 轴相切的圆的方程是______.

1994 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 log⁡3(x−1)=log⁡9(x+5)\log_3(x - 1) = \log_9(x + 5) 的解是______.

1994 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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05立体几何初步★☆☆☆☆
有一个实心圆锥体的零部件，它的轴截面是边长为 10 cm10\mathrm{~cm} 的等边三角形. 现要在它的整个表面镀上一层防腐材料，已知每平方厘米的工料价为 0.100.10 元，则需要费用______ 元（π\pi 取 3.23.2）.

1994 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=x2−1y = \sqrt{x^2 - 1}（x⩽−1x \leqslant -1）的反函数是______.

1994 · 上海 · 第 6 题 · 填空题

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07解析几何★☆☆☆☆
双曲线 y22−x2=1\frac{y^2}{2} - x^2 = 1 的两个焦点的坐标是______.

1994 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x3−2x2)5\left(x^{3} - \frac{2}{x^{2}}\right)^{5} 的展开式中，x5x^{5} 的系数是（结果用数值表示）______.

1994 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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09三角函数★★★☆☆
函数 y=sin⁡2x−2cos⁡2xy = \sin 2x - 2\cos^2 x 的最大值是______.

1994 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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10三角函数★★★☆☆
函数 y=sin⁡2x+sin⁡(2x+π3)cos⁡2x+cos⁡(2x+π3)y = \frac{\sin 2x + \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)}{\cos 2x + \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)} 的最小正周期是______.

1994 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11指数函数与对数函数★★☆☆☆
当 a>1a > 1 时，函数 y=log⁡axy = \log_a x 和 y=(1−a)xy = (1 - a)x 的图象只可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

1994 · 上海 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
如果 0<a<10 < a < 1，那么下列不等式中正确的是（ ）
A.
(1−a)13>(1−a)12(1 - a)^{\frac{1}{3}} > (1 - a)^{\frac{1}{2}}
B.
log⁡(1−a)(1+a)>0\log_{(1 - a)}(1 + a) > 0
C.
(1−a)3>(1+a)2(1 - a)^{3} > (1 + a)^{2}
D.
(1−a)1+a>1(1 - a)^{1 + a} > 1

1994 · 上海 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★☆☆☆
已知点 PP 的极坐标为 (1,π)(1, \pi)，那么过点 PP 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）
A.
ρ=1\rho = 1
B.
ρ=cos⁡θ\rho = \cos \theta
C.
ρ=−1cos⁡θ\rho = -\frac{1}{\cos\theta}
D.
ρ=1cos⁡θ\rho = \frac{1}{\cos\theta}

1994 · 上海 · 第 13 题 · 选择题

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14立体几何初步★★☆☆☆
已知 aa，bb 是异面直线，直线 cc 平行于直线 aa，那么 cc 与 bb（ ）
A.
一定是异面直线
B.
一定是相交直线
C.
不可能是平行直线
D.
不可能是相交直线

1994 · 上海 · 第 14 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 II 是全集，集合 PP，QQ 满足 P⊂QP \subset Q，则下面的结论中错误的是（ ）
A.
P∪Q=QP \cup Q = Q
B.
P‾∪Q=I\overline{P} \cup Q = I
C.
P∩Q‾=∅P \cap \overline{Q} = \varnothing
D.
P‾∩Q‾=P‾\overline{P} \cap \overline{Q} = \overline{P}

1994 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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16复数★★★☆☆
设复数 z=−12+32iz = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位），则满足等式 zn=zz^n = z，且大于 11 的正整数 nn 中最小的是（ ）
A.
33
B.
44
C.
66
D.
77

1994 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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17立体几何初步★★☆☆☆
设 aa，bb 是平面 α\alpha 外的任意两条线段，则“aa，bb 的长相等”是“aa，bb 在平面 α\alpha 内的射影长相等”的（ ）
A.
非充分条件也非必要条件
B.
充分必要条件
C.
必要条件而非充分条件
D.
充分条件而非必要条件

1994 · 上海 · 第 17 题 · 选择题

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18计数原理与组合数学★★☆☆☆
计划在某画廊展出1010幅不同的画，其中11幅水彩画，44幅油画，55幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（ ）
A.
A44⋅A55\mathrm A_4^4 \cdot \mathrm A_5^5 种
B.
A33⋅A44⋅A55\mathrm A_3^3 \cdot \mathrm A_4^4 \cdot \mathrm A_5^5 种
C.
C31⋅A44⋅A55\mathrm C_3^1 \cdot \mathrm A_4^4 \cdot \mathrm A_5^5 种
D.
A22⋅A44⋅A55\mathrm A_2^2 \cdot \mathrm A_4^4 \cdot \mathrm A_5^5 种

1994 · 上海 · 第 18 题 · 选择题

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19三角函数★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的方程是 y=cos⁡xy = \cos x. 现平移坐标系，把原点移到点 O′(π2,−π2)O'\left(\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\right)，则在坐标系 x′O′y′x'O'y' 中，曲线 CC 的方程是（ ）
A.
y′=sin⁡x′+π2y' = \sin x' + \frac{\pi}{2}
B.
y′=−sin⁡x′+π2y' = -\sin x' + \frac{\pi}{2}
C.
y′=sin⁡x′−π2y' = \sin x' - \frac{\pi}{2}
D.
y′=−sin⁡x′−π2y' = -\sin x' - \frac{\pi}{2}

1994 · 上海 · 第 19 题 · 选择题

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20集合与逻辑基础★★☆☆☆
某个命题与自然数 nn 有关. 如果当 n=kn = k（k∈Nk \in \mathbf{N}）时该命题成立，那么可推得当 n=k+1n = k + 1 时该命题也成立. 现已知当 n=5n = 5 时该命题不成立，那么可推得（ ）
A.
当 n=6n = 6 时该命题不成立
B.
当 n=6n = 6 时该命题成立
C.
当 n=4n = 4 时该命题不成立
D.
当 n=4n = 4 时该命题成立

1994 · 上海 · 第 20 题 · 选择题

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21三角函数★★★☆☆
已知 sin⁡α=35\sin \alpha = \frac{3}{5}，α∈(π2,π)\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，tan⁡(π−β)=12\tan(\pi - \beta) = \frac{1}{2}，求 tan⁡(α−2β)\tan(\alpha - 2\beta) 的值.

1994 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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22复数★★★☆☆
设 ww 为复数. 它的辐角的主值为 3π4\frac{3\pi}{4}，且 (w‾)2−4w\frac{\left(\overline{w}\right)^2 - 4}{w} 为实数，求复数 ww.

1994 · 上海 · 第 22 题 · 解答题

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23立体几何初步★★★☆☆
如图，在梯形 ABCDABCD 中，AD∥BCAD \parallel BC，∠ABC=π2\angle ABC = \frac{\pi}{2}，AB=aAB = a，AD=3aAD = 3a，且 ∠ADC=arcsin⁡55\angle ADC = \arcsin \frac{\sqrt{5}}{5}，又 PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，PA=aPA = a. 求：
(1) 二面角 P−CD−AP-CD-A 的大小（用反三角函数表示）； (2) 点 AA 到平面 PBCPBC 的距离.

1994 · 上海 · 第 23 题 · 解答题

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24解析几何★★★★☆
设椭圆的中心为原点 OO，一个焦点为 F(0,1)F(0,1)，长轴和短轴的长度之比为 tt.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设经过原点且斜率为 tt 的直线与椭圆在 yy 轴右边部分的交点为 QQ，点 PP 在该直线上，且 ∣OPOQ∣=tt2−1\left|\frac{OP}{OQ}\right| = t\sqrt{t^2 - 1}，当 tt 变化时，求点 PP 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

1994 · 上海 · 第 24 题 · 解答题

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25函数与初等函数★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，设矩形 OPQROPQR 的顶点按逆时针顺序依次为 O(0,0)O(0,0)，P(1,t)P(1,t)，Q(1−2t,2+t)Q(1-2t,2+t)，R(−2t,2)R(-2t,2)，其中 t∈(0,+∞)t \in (0,+\infty).
(1) 求矩形 OPQROPQR 在第一象限部分的面积 S(t)S(t)； (2) 确定函数 S(t)S(t) 的单调区间，并加以证明.

1994 · 上海 · 第 25 题 · 解答题

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