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07解析几何★★★★☆
若点 OO 和点 F(−2,0)F(-2,0) 分别为双曲线 x2a2−y2=1\frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1 （a>0a > 0）的中心和左焦点，点 PP 为双曲线右支上的任意一点，则 OP→⋅FP→\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{FP} 的取值范围为（ ）
A.
[3−23,+∞)\left[3 - 2\sqrt{3}, +\infty\right)
B.
[3+23,+∞)\left[3 + 2\sqrt{3}, + \infty\right)
C.
[−74,+∞)\left[-\frac{7}{4}, +\infty\right)
D.
[74,+∞)\left[\frac{7}{4}, +\infty\right)

2010 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★★★☆
设不等式组
{x⩾1,x−2y+3⩾0,y⩾x\begin{cases} x \geqslant 1,\\ x - 2y + 3 \geqslant 0,\\ y \geqslant x \end{cases}
所表示的平面区域是 Ω1\Omega_1，平面区域 Ω2\Omega_2 与 Ω1\Omega_1 关于直线 3x−4y−9=03x - 4y - 9 = 0 对称. 对于 Ω1\Omega_1 中的任意点 AA 与 Ω2\Omega_2 中的任意点 BB，∣AB∣|AB| 的最小值等于（ ）
A.
285\frac{28}{5}
B.
4
C.
125\frac{12}{5}
D.
2

2010 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
对于具有相同定义域 DD 的函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x)，若存在函数 h(x)=kx+bh(x) = kx + b （kk，bb 为常数），对任给的正数 mm，存在相应的 x0∈Dx_0 \in D，使得当 x∈Dx \in D 且 x>x0x > x_0 时，总有
{0<f(x)−h(x)<m,0<h(x)−g(x)<m,\begin{cases} 0 < f(x) - h(x) < m,\\ 0 < h(x) - g(x) < m, \end{cases}
则称直线 l:y=kx+bl: y = kx + b 为曲线 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 的“分渐近线”. 给出定义域均为 D={x∣x>1}D = \{x \mid x > 1\} 的四组函数如下：
① f(x)=x2f(x)=x^{2}，g(x)=xg(x) = \sqrt{x}； ② f(x)=10−x+2f(x) = 10^{-x} + 2，g(x)=2x−3xg(x) = \frac{2x - 3}{x}； ③ f(x)=x2+1x2f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2}，g(x)=xln⁡x+1ln⁡xg(x) = \frac{x\ln x + 1}{\ln x}； ④ f(x)=2x2x+1f(x) = \frac{2x^2}{x + 1}，g(x)=2(x−1−e−x)g(x) = 2(x - 1 - \mathrm{e}^{-x}).
其中，曲线 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 存在“分渐近线”的是（ ）
A.
①④
B.
②③
C.
②④
D.
③④

2010 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知定义域为 (0,+∞)(0, +\infty) 的函数 f(x)f(x) 满足：
(1) 对任意 x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)，恒有 f(2x)=2f(x)f(2x) = 2f(x) 成立； (2) 当 x∈(1,2]x \in (1, 2] 时，f(x)=2−xf(x) = 2 - x.
给出结论如下：
① 对任意 m∈Zm \in \mathbf{Z}，有 f(2m)=0f(2^{m}) = 0； ② 函数 f(x)f(x) 的值域为 [0,+∞)[0, +\infty)； ③ 存在 n∈Zn \in \mathbf{Z}，使得 f(2n+1)=9f(2^{n+1}) = 9； ④ “函数 f(x)f(x) 在区间 (a,b)(a, b) 上单调递减”的充要条件是“存在 k∈Zk \in \mathbf{Z}，使得 (a,b)⊆(2k,2k+1)(a, b) \subseteq (2^{k}, 2^{k+1})”.
其中所有正确结论的序号是______.

2010 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，圆柱 OO1O O_{1} 内有一个三棱柱 ABC−A1B1C1A B C - A_{1}B_{1}C_{1}，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 ABA B 是圆 OO 的直径.
(1) 证明：平面 A1ACC1A_{1}ACC_{1} ⊥\perp 平面 B1BCC1B_{1}BCC_{1}； (2) 设 AB=AA1AB = AA_{1}，在圆柱 OO1OO_{1} 内随机选取一点. 记该点取自于三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 内的概率为 pp.
(i) 当点 CC 在圆周上运动时，求 pp 的最大值； (ii) 记平面 A1ACC1A_{1}ACC_{1} 与平面 B1OCB_{1}OC 所成的角为 θ\theta （0∘<θ⩽90∘0^{\circ} < \theta \leqslant 90^{\circ}），当 pp 取最大值时，求 cos⁡θ\cos \theta 的值.

2010 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
某港口 OO 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时，轮船位于港口 OO 北偏西 30∘30^{\circ} 且与该港口相距 20 海里20\text{ 海里} 的 AA 处，并以 30 海里/小时30\text{ 海里/小时} 的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时v\text{ 海里/小时} 的航行速度匀速行驶，经过 t 小时t\text{ 小时} 与轮船相遇.
(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2) 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时30\text{ 海里/小时}，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

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