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01三角函数★☆☆☆☆
计算 sin⁡43∘cos⁡13∘−cos⁡43∘sin⁡13∘\sin 43^{\circ} \cos 13^{\circ} - \cos 43^{\circ} \sin 13^{\circ} 的结果等于（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
C.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
D.
32\frac{\sqrt{3}}{2}

2010 · 福建 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★☆☆☆☆
以抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A.
x2+y2+2x=0x^{2} + y^{2} + 2x = 0
B.
x2+y2+x=0x^{2} + y^{2} + x = 0
C.
x2+y2−x=0x^{2} + y^{2} - x = 0
D.
x2+y2−2x=0x^{2} + y^{2} - 2x = 0

2010 · 福建 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和为 SnS_n. 若 a1=−11a_1 = -11，a4+a6=−6a_4 + a_6 = -6，则当 SnS_n 取最小值时，nn 等于（ ）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

2010 · 福建 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
函数
f(x)={x2+2x−3,x⩽0,−2+ln⁡x,x>0,f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x - 3, & x \leqslant 0,\\ -2 + \ln x, & x > 0, \end{cases}
的零点个数为（ ）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 ii 值等于（ ）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5

2010 · 福建 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
如图，若 Ω\Omega 是长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 被平面 EFGHEFGH 截去几何体 EFGHB1C1EFGHB_{1}C_{1} 后得到的几何体，其中 EE 为线段 A1B1A_{1}B_{1} 上异于 B1B_{1} 的点，FF 为线段 BB1BB_{1} 上异于 B1B_{1} 的点，且 EH∥A1D1EH \parallel A_{1}D_{1}，则下列结论中不正确的是（ ）
A.
EH∥FGEH \parallel FG
B.
四边形 EFGHEFGH 是矩形
C.
Ω\Omega 是棱柱
D.
Ω\Omega 是棱台

2010 · 福建 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★★★☆
若点 OO 和点 F(−2,0)F(-2,0) 分别为双曲线 x2a2−y2=1\frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1 （a>0a > 0）的中心和左焦点，点 PP 为双曲线右支上的任意一点，则 OP→⋅FP→\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{FP} 的取值范围为（ ）
A.
[3−23,+∞)\left[3 - 2\sqrt{3}, +\infty\right)
B.
[3+23,+∞)\left[3 + 2\sqrt{3}, + \infty\right)
C.
[−74,+∞)\left[-\frac{7}{4}, +\infty\right)
D.
[74,+∞)\left[\frac{7}{4}, +\infty\right)

2010 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★★★☆
设不等式组
{x⩾1,x−2y+3⩾0,y⩾x\begin{cases} x \geqslant 1,\\ x - 2y + 3 \geqslant 0,\\ y \geqslant x \end{cases}
所表示的平面区域是 Ω1\Omega_1，平面区域 Ω2\Omega_2 与 Ω1\Omega_1 关于直线 3x−4y−9=03x - 4y - 9 = 0 对称. 对于 Ω1\Omega_1 中的任意点 AA 与 Ω2\Omega_2 中的任意点 BB，∣AB∣|AB| 的最小值等于（ ）
A.
285\frac{28}{5}
B.
4
C.
125\frac{12}{5}
D.
2

2010 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★★★☆☆
对于复数 aa，bb，cc，dd，若集合 S={a,b,c,d}S = \{a, b, c, d\} 具有性质“对任意 xx，y∈Sy \in S，必有 xy∈Sxy \in S”，则当
{a=1,b2=1,c2=b\begin{cases} a = 1,\\ b^2 = 1,\\ c^2 = b \end{cases}
时，b+c+db + c + d 等于（ ）
A.
1
B.
−1-1
C.
0
D.
i\mathrm{i}

2010 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
对于具有相同定义域 DD 的函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x)，若存在函数 h(x)=kx+bh(x) = kx + b （kk，bb 为常数），对任给的正数 mm，存在相应的 x0∈Dx_0 \in D，使得当 x∈Dx \in D 且 x>x0x > x_0 时，总有
{0<f(x)−h(x)<m,0<h(x)−g(x)<m,\begin{cases} 0 < f(x) - h(x) < m,\\ 0 < h(x) - g(x) < m, \end{cases}
则称直线 l:y=kx+bl: y = kx + b 为曲线 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 的“分渐近线”. 给出定义域均为 D={x∣x>1}D = \{x \mid x > 1\} 的四组函数如下：
① f(x)=x2f(x)=x^{2}，g(x)=xg(x) = \sqrt{x}； ② f(x)=10−x+2f(x) = 10^{-x} + 2，g(x)=2x−3xg(x) = \frac{2x - 3}{x}； ③ f(x)=x2+1x2f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2}，g(x)=xln⁡x+1ln⁡xg(x) = \frac{x\ln x + 1}{\ln x}； ④ f(x)=2x2x+1f(x) = \frac{2x^2}{x + 1}，g(x)=2(x−1−e−x)g(x) = 2(x - 1 - \mathrm{e}^{-x}).
其中，曲线 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 存在“分渐近线”的是（ ）
A.
①④
B.
②③
C.
②④
D.
③④

2010 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11数列★☆☆☆☆
在等比数列 {an}\{a_{n}\} 中，若公比 q=4q = 4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式为 an=‾a_{n} =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★☆☆☆
若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示， 则其表面积等于______.

2010 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮. 假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于______.

2010 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=3sin⁡(ωx−π6)f(x) = 3\sin \left( \omega x - \frac{\pi}{6} \right)（ω>0\omega > 0）和 g(x)=2cos⁡(2x+φ)+1g(x) = 2\cos (2x + \varphi) + 1 的图象的对称轴完全相同. 若 x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]，则 f(x)f(x) 的取值范围是______.

2010 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知定义域为 (0,+∞)(0, +\infty) 的函数 f(x)f(x) 满足：
(1) 对任意 x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)，恒有 f(2x)=2f(x)f(2x) = 2f(x) 成立； (2) 当 x∈(1,2]x \in (1, 2] 时，f(x)=2−xf(x) = 2 - x.
给出结论如下：
① 对任意 m∈Zm \in \mathbf{Z}，有 f(2m)=0f(2^{m}) = 0； ② 函数 f(x)f(x) 的值域为 [0,+∞)[0, +\infty)； ③ 存在 n∈Zn \in \mathbf{Z}，使得 f(2n+1)=9f(2^{n+1}) = 9； ④ “函数 f(x)f(x) 在区间 (a,b)(a, b) 上单调递减”的充要条件是“存在 k∈Zk \in \mathbf{Z}，使得 (a,b)⊆(2k,2k+1)(a, b) \subseteq (2^{k}, 2^{k+1})”.
其中所有正确结论的序号是______.

2010 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16概率与统计★★★☆☆
设 SS 是不等式 x2−x−6⩽0x^{2} - x - 6 \leqslant 0 的解集，整数 mm，n∈Sn \in S.
(1) 记使得“m+n=0m + n = 0 成立的有序数组 (m,n)(m, n)”为事件 AA，试列举 AA 包含的基本事件； (2) 设 ξ=m2\xi = m^2，求 ξ\xi 的分布列及其数学期望 E(ξ)E(\xi).

2010 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17解析几何★★★☆☆
已知中心在坐标原点 OO 的椭圆 CC 经过点 A(2,3)A(2,3)，且点 F(2,0)F(2,0) 为其右焦点.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 是否存在平行于 OAOA 的直线 ll，使得直线 ll 与椭圆 CC 有公共点，且直线 OAOA 与 ll 的距离等于 44？若存在，求出直线 ll 的方程；若不存在，请说明理由.

2010 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，圆柱 OO1O O_{1} 内有一个三棱柱 ABC−A1B1C1A B C - A_{1}B_{1}C_{1}，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 ABA B 是圆 OO 的直径.
(1) 证明：平面 A1ACC1A_{1}ACC_{1} ⊥\perp 平面 B1BCC1B_{1}BCC_{1}； (2) 设 AB=AA1AB = AA_{1}，在圆柱 OO1OO_{1} 内随机选取一点. 记该点取自于三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 内的概率为 pp.
(i) 当点 CC 在圆周上运动时，求 pp 的最大值； (ii) 记平面 A1ACC1A_{1}ACC_{1} 与平面 B1OCB_{1}OC 所成的角为 θ\theta （0∘<θ⩽90∘0^{\circ} < \theta \leqslant 90^{\circ}），当 pp 取最大值时，求 cos⁡θ\cos \theta 的值.

2010 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
某港口 OO 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时，轮船位于港口 OO 北偏西 30∘30^{\circ} 且与该港口相距 20 海里20\text{ 海里} 的 AA 处，并以 30 海里/小时30\text{ 海里/小时} 的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时v\text{ 海里/小时} 的航行速度匀速行驶，经过 t 小时t\text{ 小时} 与轮船相遇.
(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2) 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时30\text{ 海里/小时}，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

2010 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
(1) 已知函数 f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x，其图象记为曲线 CC.
(i) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (ii) 证明：若对于任意非零实数 x1x_{1}，曲线 CC 与其在点 P1(x1,f(x1))P_{1}(x_{1}, f(x_{1})) 处的切线交于另一点 P2(x2,f(x2))P_{2}(x_{2}, f(x_{2}))，曲线 CC 与其在点 P2(x2,f(x2))P_{2}(x_{2}, f(x_{2})) 处的切线交于另一点 P3(x3,f(x3))P_{3}(x_{3}, f(x_{3}))，线段 P1P2P_{1}P_{2}，P2P3P_{2}P_{3} 与曲线 CC 所围成封闭图形的面积分别为 S1S_{1}，S2S_{2}，则 S1S2\frac{S_{1}}{S_{2}} 为定值； (2) 对于一般的三次函数 g(x)=ax3+bx2+cx+dg(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d （a≠0a \neq 0），请给出类似于（1）（ii） 的正确命题，并予以证明.

2010 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
已知矩阵
M=(1ab1)M = \begin{pmatrix}1 & a\\ b & 1 \end{pmatrix}
，
N=(c20d)N = \begin{pmatrix}c & 2\\ 0 & d \end{pmatrix}
，且
MN=(20−20)MN = \begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0 \end{pmatrix}
.
(1) 求实数 aa，bb，cc，dd 的值； (2) 求直线 y=3xy = 3x 在矩阵 MM 所对应的线性变换下的像的方程.

2010 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，直线 ll 的参数方程为
{x=3−22t,y=5−22t.\begin{cases} x = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} t,\\ y = \sqrt{5} - \frac{\sqrt{2}}{2} t. \end{cases}
（tt 为参数）. 在极坐标系（与直角坐标系 xOyxOy 取相同的长度单位，且以原点 OO 为极点，以 xx 轴正半轴为极轴）中，圆 CC 的方程为 ρ=25sin⁡θ\rho = 2\sqrt{5}\sin \theta.
(1) 求圆 CC 的直角坐标方程； (2) 设圆 CC 与直线 ll 交于点 AA，BB，若点 PP 的坐标为 (3,5)(3, \sqrt{5})，求 ∣PA∣+∣PB∣|PA| + |PB|.

2010 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a∣f(x) = |x - a|.
(1) 若不等式 f(x)⩽3f(x) \leqslant 3 的解集为 {x∣−1⩽x⩽5}\{x \mid -1 \leqslant x \leqslant 5\}，求实数 aa 的值； (2) 在（1）的条件下，若 f(x)+f(x+5)⩾mf(x) + f(x + 5) \geqslant m 对一切实数 xx 恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2010 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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