已知平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 所成的二面角为 $80^{\circ}$，$P$ 为 $\alpha$，$\beta$ 外一定点，过点 $P$ 的一条直线与 $\alpha$，$\beta$ 所成的角都是 $30^{\circ}$，则这样的直线有且仅有（$\quad$）

直线 $l: y = kx + 1$ 与双曲线 $C: 2x^{2} - y^{2} = 1$ 的右支交于不同的两点 $A$，$B$.

(1) 求实数 $k$ 的取值范围； (2) 是否存在实数 $k$，使得以线段 $AB$ 为直径的圆经过双曲线 $C$ 的右焦点 $F$？若存在，求出 $k$ 的值. 若不存在，说明理由.