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01导数及其应用★★☆☆☆
与直线 2x−y+4=02x - y + 4 = 0 平行的抛物线 y=x2y = x^2 的切线方程是（\quad）
A.
2x−y+3=02x - y + 3 = 0
B.
2x−y−3=02x - y - 3 = 0
C.
2x−y+1=02x - y + 1 = 0
D.
2x−y−1=02x - y - 1 = 0

2004 · 湖北 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★★☆☆☆
复数 (−1+3i)51+3i\frac{(-1 + \sqrt{3}\mathrm{i})^5}{1 + \sqrt{3}\mathrm{i}} 的值是（\quad）
A.
−16-16
B.
1616
C.
−14-\frac{1}{4}
D.
14−34i\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{i}

2004 · 湖北 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(1−x1+x)=1−x21+x2f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}，则 f(x)f(x) 的解析式可取为（\quad）
A.
x1+x2\frac{x}{1 + x^2}
B.
−2x1+x2-\frac{2x}{1 + x^2}
C.
2x1+x2\frac{2x}{1 + x^2}
D.
−x1+x2-\frac{x}{1 + x^2}

2004 · 湖北 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为非零的平面向量. 甲： a⋅b=a⋅c\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}，乙： b=c\boldsymbol{b} = \boldsymbol{c}，则（\quad）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2004 · 湖北 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05不等式★★★☆☆
若 1a<1b<0\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0，则下列不等式：
① a+b<aba + b < ab； ② ∣a∣>∣b∣|a| > |b|； ③ a<ba < b； ④ ba+ab>2\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2.
其中正确的不等式有（\quad）
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

2004 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★★☆☆
已知椭圆 x216+y29=1\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，点 PP 在椭圆上，若 PP，F1F_1，F2F_2 是一个直角三角形中的三个顶点，则点 PP 到 xx 轴的距离为（\quad）
A.
95\frac{9}{5}
B.
33
C.
977\frac{9\sqrt{7}}{7}
D.
94\frac{9}{4}

2004 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=ax+log⁡a(x+1)f(x) = a^x + \log_a(x + 1) 在 [0,1][0, 1] 上的最大值与最小值之和为 aa，则 aa 的值为（\quad）
A.
14\frac{1}{4}
B.
12\frac{1}{2}
C.
22
D.
44

2004 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=a[2−(12)n−1]−b[2−(n+1)(12)n−1]S_{n} = a\left[2 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1}\right] - b\left[2 - (n + 1)\left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1}\right] （n=1n = 1，22，…\dots），其中 aa，bb 是非零常数. 则存在数列 {xn}\{x_{n}\}，{yn}\{y_{n}\} 使得（\quad）
A.
an=xn+yna_{n} = x_{n} + y_{n}，其中 {xn}\{x_{n}\} 为等差数列，{yn}\{y_{n}\} 为等比数列
B.
an=xn+yna_{n} = x_{n} + y_{n}，其中 {xn}\{x_{n}\} 和 {yn}\{y_{n}\} 都为等差数列
C.
an=xn⋅yna_{n} = x_{n}\cdot y_{n}，其中 {xn}\{x_{n}\} 为等差数列，{yn}\{y_{n}\} 为等比数列
D.
an=xn⋅yna_{n} = x_{n}\cdot y_{n}，其中 {xn}\{x_{n}\} 和 {yn}\{y_{n}\} 都为等比数列

2004 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=ax3+x+1f(x) = ax^3 + x + 1 有极值的充要条件是（\quad）
A.
a>0a > 0
B.
a⩾0a \geqslant 0
C.
a<0a < 0
D.
a⩽0a \leqslant 0

2004 · 湖北 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10不等式★★★☆☆
设集合 P={m∣−1<m<0}P = \{m \mid -1 < m < 0\}，Q={m∈R∣mx2+4mx−4<0 对任意实数 x 恒成立}Q = \{m \in \mathbf{R} \mid mx^2 + 4mx - 4 < 0 \text{ 对任意实数 } x \text{ 恒成立}\}，则下列关系中成立的是（\quad）
A.
P⊊QP \subsetneq Q
B.
Q⊊PQ \subsetneq P
C.
P=QP = Q
D.
P∩Q=∅P \cap Q = \varnothing

2004 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★★☆
已知平面 α\alpha 与 β\beta 所成的二面角为 80∘80^{\circ}，PP 为 α\alpha，β\beta 外一定点，过点 PP 的一条直线与 α\alpha，β\beta 所成的角都是 30∘30^{\circ}，则这样的直线有且仅有（\quad）
A.
11 条
B.
22 条
C.
33 条
D.
44 条

2004 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12三角函数★★★☆☆
设 y=f(t)y = f(t) 是某港口水的深度 yy （米） 关于时间 tt （时） 的函数. 其中 0⩽t⩽240 \leqslant t \leqslant 24. 下表是该港口某一天从 00 时至 2424 时记录的时间 tt 与水深 yy 的关系：
经长期观察，函数 y=f(t)y = f(t) 的图象可以近似地看成函数 y=k+Asin⁡(ωt+φ)y = k + A \sin(\omega t + \varphi) 的图象. 下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（\quad）
A.
y=12+3sin⁡π6ty = 12 + 3\sin \frac{\pi}{6} t，t∈[0,24]t \in [0, 24]
B.
y=12+3sin⁡(π6t+π)y = 12 + 3\sin \left(\frac{\pi}{6} t + \pi\right)，t∈[0,24]t \in [0, 24]
C.
y=12+3sin⁡π12ty = 12 + 3\sin \frac{\pi}{12} t，t∈[0,24]t \in [0, 24]
D.
y=12+3sin⁡(π12t+π2)y = 12 + 3\sin \left(\frac{\pi}{12} t + \frac{\pi}{2}\right)，t∈[0,24]t \in [0, 24]

2004 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13概率与统计★☆☆☆☆
设随机变量 ξ\xi 的概率分布为 P(ξ=k)=a5kP(\xi = k) = \frac{a}{5^k}，aa 为常数，k=1k = 1，22，…\dots，则 a=a =______.

2004 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
将标号为 11，22，⋯\cdots，1010 的 1010 个球放入标号为 11，22，⋯\cdots，1010 的 1010 个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有 33 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有______ 种. （以数字作答）

2004 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 AA，BB 为两个集合. 下列四个命题：
① A⊈B⇔A \not\subseteq B \Leftrightarrow 对任意 x∈Ax \in A，有 x∉Bx \notin B； ② A⊈B⇔A∩B=∅A \not\subseteq B \Leftrightarrow A \cap B = \varnothing； ③ A⊈B⇔A⊉BA \not\subseteq B \Leftrightarrow A \not\supseteq B； ④ A⊈B⇔A \not\subseteq B \Leftrightarrow 存在 x∈Ax \in A，使得 x∉Bx \notin B.
其中真命题的序号是______. （把符合要求的命题序号都填上）

2004 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★☆☆
某日中午 1212 时整，甲船自 AA 处以 16 km/h16\mathrm{~km/h} 的速度向正东行驶，乙船自 AA 的正北 18 km18\mathrm{~km} 处以 24 km/h24\mathrm{~km/h} 的速度向正南行驶，则当日 1212 时 3030 分时两船之间距离对时间的变化率是______km/h\mathrm{km/h}.

2004 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知 6sin⁡2α+sin⁡αcos⁡α−2cos⁡2α=06\sin^2\alpha + \sin \alpha \cos \alpha - 2\cos^2\alpha = 0，α∈[π2,π]\alpha \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]，求 sin⁡(2α+π3)\sin \left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) 的值.

2004 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在棱长为 11 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，点 EE 是棱 BCBC 的中点，点 FF 是棱 CDCD 上的动点.
(1) 试确定点 FF 的位置，使得 D1E⊥D_{1}E \perp 平面 AB1FAB_{1}F； (2) 当 D1E⊥D_{1}E \perp 平面 AB1FAB_{1}F 时，求二面角 C1−EF−AC_{1} - EF - A 的大小. （结果用反三角函数值表示）

2004 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19平面向量★★★☆☆
如图，在 Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 中，已知 BC=aBC = a，若长为 2a2a 的线段 PQPQ 以点 AA 为中点，问 PQ→\overrightarrow{PQ} 与 BC→\overrightarrow{BC} 的夹角 θ\theta 取何值时 BP→⋅CQ→\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{CQ} 的值最大？并求出这个最大值.

2004 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
直线 l:y=kx+1l: y = kx + 1 与双曲线 C:2x2−y2=1C: 2x^{2} - y^{2} = 1 的右支交于不同的两点 AA，BB.
(1) 求实数 kk 的取值范围； (2) 是否存在实数 kk，使得以线段 ABAB 为直径的圆经过双曲线 CC 的右焦点 FF？若存在，求出 kk 的值. 若不存在，说明理由.

2004 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21概率与统计★★★☆☆
某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0.30.3；一旦发生，将造成 400 万元400\text{ 万元} 的损失. 现有甲，乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲，乙预防措施所需的费用分别为 45 万元45\text{ 万元} 和 30 万元30\text{ 万元}. 采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别是 0.90.9 和 0.850.85. 若预防方案允许甲，乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少. 注：总费用 == 采取预防措施的费用 ++ 发生突发事件损失的期望值.

2004 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知 a>0a > 0，数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=aa_1 = a，an+1=a+1ana_{n+1} = a + \frac{1}{a_n}，n=1n = 1，22，…\ldots.
(1) 已知数列 {an}\{a_n\} 极限存在且大于零，求 A=lim⁡n→∞anA = \displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n（将 AA 用 aa 表示）； (2) 设 bn=an−Ab_n = a_n - A，n=1n = 1，22，⋯\cdots，证明： bn+1=−bnA(bn+A)b_{n+1} = -\frac{b_n}{A(b_n + A)}. (3) 若 ∣bn∣⩽12n|b_n| \leqslant \frac{1}{2^n} 对 n=1n = 1，22，⋯\cdots 都成立，求 aa 的取值范围.

2004 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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