已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1} = \frac{1}{4}(a_n - 6)^3 + 6$ ($n = 1, 2, 3, \dots$), 则 （ ）

设 $a > 0$, 函数 $f(x) = \begin{cases} x+2, & x < -a \\ \sqrt{a^2-x^2}, & -a \le x \le a \\ -\sqrt{x}-1, & x > a \end{cases}$

给出下列四个结论：

① $f(x)$ 在区间 $(a-1, +\infty)$ 上单调递减；

② 当 $a \ge 1$ 时, $f(x)$ 存在最大值；

③ 设 $M(x_1, f(x_1)) (x_1 \le a)$, $N(x_2, f(x_2)) (x_2 > a)$, 则 $|MN| > 1$；

④ 设 $P(x_3, f(x_3)) (x_3 < -a)$, $Q(x_4, f(x_4)) (x_4 \ge -a)$。若 $|PQ|$ 存在最小值, 则 $a$ 的取值范围是 $(0, \frac{1}{2}]$。

其中所有正确结论的序号是______。

为研究某种农产品价格变化的规律, 收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据, 如下表所示。在描述价格变化时, 用“+”表示“上涨”, 即当天价格比前一天价格高；用“－”表示“下跌”, 即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”, 即当天价格与前一天价格相同。

时段：第 1 天到第 20 天，价格变化：－ + + 0 － － － + + 0 + 0 － － + － + 0 0 +

时段：第 21 天到第 40 天，价格变化：0 + + 0 － － － + + 0 + 0 + － － － + 0 － +

用频率估计概率。

(1) 试估计该农产品价格“上涨”的概率；

(2) 假设该农产品每天的价格变化是相互独立的。在未来的日子里任取 4 天, 试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率；

(3) 假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响。判断第 41 天该农产品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大。（结论不需要证明）

已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$, $A, C$ 分别是 $E$ 的上、下顶点, $B, D$ 分别是 $E$ 的左、右顶点, $|AC| = 4$。

(1) 求 $E$ 的方程；

(2) 设 $P$ 为第一象限内 $E$ 上的动点, 直线 $PD$ 与直线 $BC$ 交于点 $M$, 直线 $PA$ 与直线 $y = -2$ 交于点 $N$。求证: $MN \parallel CD$。

设函数 $f(x) = x - x^3 e^{ax+b}$, 曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y = -x + 1$。

(1) 求 $a, b$ 的值；

(2) 设函数 $g(x) = f'(x)$, 求 $g(x)$ 的单调区间；

(3) 求 $f(x)$ 的极值点个数。