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12立体几何初步★★★★☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，FF 分别为棱 AA1AA_{1}，CC1CC_{1} 的中点，则在空间中与三条直线 A1D1A_{1}D_{1}，EFEF，CDCD 都相交的直线（ ）
\begin{solution} 建立坐标系，取 A(0,0,0)A(0,0,0)，B(1,0,0)B(1,0,0)，C(1,1,0)C(1,1,0)，D(0,1,0)D(0,1,0)，A1(0,0,1)A_1(0,0,1)，D1(0,1,1)D_1(0,1,1). 由于 EE、FF 分别是 AA1AA_1、CC1CC_1 的中点， E(0,0,12)E(0,0,\frac{1}{2})、F(1,1,12)F(1,1,\frac{1}{2}). 因而直线 EFEF 的方程为 x=yx=y， z=12\ z=\frac{1}{2}.
任取 t∈Rt\in\mathbb R，取 Xt(0,t,1)∈A1D1X_t(0,t,1)\in A_1D_1 和 Zt(t+1,1,0)∈CDZ_t(t+1,1,0)\in CD. 直线 XtZtX_tZ_t 与平面 z=12z=\frac{1}{2} 的交点为
Yt=Xt+Zt2=(t+12,t+12,12)∈EFY_t=\frac{X_t+Z_t}{2}=\left(\frac{t+1}{2},\frac{t+1}{2},\frac{1}{2}\right)\in EF
所以直线 XtZtX_tZ_t 同时经过 A1D1A_1D_1 上的 XtX_t、CDCD 上的 ZtZ_t 和 EFEF 上的 YtY_t. 不同的 tt 给出不同的直线，故这样的直线有无数条，选 D. \end{solution}
A.
不存在
B.
有且只有两条
C.
有且只有三条
D.
有无数条

2008 · 辽宁 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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14立体几何初步★★★★☆
在体积为 43π4\sqrt{3}\pi 的球的表面上有 AA，BB，CC 三点，AB=1AB = 1，BC=2BC = \sqrt{2}，AA，CC 两点的球面距离为 33π\frac{\sqrt{3}}{3}\pi，则球心到平面 ABCABC 的距离为______.
\begin{solution} 设球的半径为 RR. 由球的体积公式， 43πR3=43π\dfrac{4}{3}\pi R^3=4\sqrt{3}\pi，所以 R3=33R^3=3\sqrt{3}，即 R=3R=\sqrt{3}.
设球心为 OO. 由 ACAC 的球面距离为 33π\dfrac{\sqrt{3}}{3}\pi，得 ∠AOC=(33)π3=π3\angle AOC=\dfrac{(\frac{\sqrt{3}}{3})\pi}{\sqrt{3}}=\dfrac{\pi}{3}. 因而 AC=2Rsin⁡∠AOC2=23sin⁡π6=3AC=2R\sin\dfrac{\angle AOC}{2}=2\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}. 又 AB2+BC2=1+2=3=AC2AB^2+BC^2=1+2=3=AC^2，所以 ∠ABC=π2\angle ABC=\dfrac{\pi}{2}. 直角三角形 ABCABC 的外接圆半径为 AC2=32\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
设 HH 为球心 OO 到平面 ABCABC 的垂足. 由于 OA=OB=OCOA=OB=OC，点 HH 是三角形 ABCABC 的外心，所以
OH2+(32)2=R2OH^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=R^2
从而 OH2=3−34=94OH^2=3-\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{4}，故球心到平面 ABCABC 的距离为 OH=32OH=\dfrac{3}{2}. \end{solution}

2008 · 辽宁 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在棱长为 11 的正方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD - A'B'C'D' 中，AP=BQ=bAP = BQ = b（0<b<10 < b < 1），截面 PQEF∥A′DPQEF \parallel A'D，截面 PQGH∥AD′PQGH \parallel AD'.
(1) 证明：平面 PQEFPQEF 和平面 PQGHPQGH 互相垂直； (2) 证明：截面 PQEFPQEF 和截面 PQGHPQGH 面积之和是定值，并求出这个值； (3) 若 b=12b = \frac{1}{2}，求 D′ED'E 与平面 PQEFPQEF 所成角的正弦值.

2008 · 辽宁 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
在数列 {an}\{a_{n}\}，{bn}\{b_{n}\} 是各项均为正数的等比数列，设 cn=bnanc_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 数列 {cn}\{c_{n}\} 是否为等比数列？证明你的结论； (2) 设数列 {ln⁡an}\{\ln a_n\}，{ln⁡bn}\{\ln b_n\} 的前 nn 项和分别为 SnS_n，TnT_n. 若 a1=2a_1 = 2，SnTn=n2n+1\frac{S_n}{T_n} = \frac{n}{2n + 1}，求数列 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和.

2008 · 辽宁 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到两点 (0,−3)(0, -\sqrt{3})，(0,3)(0, \sqrt{3}) 的距离之和为 44，设点 PP 的轨迹为 CC.
(1) 写出 CC 的方程； (2) 设直线 y=kx+1y = kx + 1 与 CC 交于 AA，BB 两点，kk 为何值时 OA→⊥OB→\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}？此时 ∣AB∣\lvert AB\rvert 的值是多少？

2008 · 辽宁 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ax3+bx2−3a2x+1f(x) = ax^3 + bx^2 - 3a^2x + 1（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}）在 x=x1x = x_1，x=x2x = x_2 处取得极值，且 ∣x1−x2∣=2\lvert x_1 - x_2\rvert = 2.
(1) 若 a=1a = 1，求 bb 的值，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 a>0a > 0，求 bb 的取值范围.

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