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11指数函数与对数函数★★★★☆
当 0<x⩽120 < x \leqslant \frac{1}{2} 时，4x<log⁡ax4^x < \log_a x，则 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 因为 0<x⩽12<10<x\leqslant\frac12<1 且 4x>04^x>0，要使 log⁡ax>4x>0\log_a x>4^x>0，必须有 0<a<10<a<1. 此时 ln⁡a<0\ln a<0，原不等式等价于 ln⁡x<4xln⁡a\ln x<4^x\ln a，即 ln⁡a>ln⁡x4x\ln a>\frac{\ln x}{4^x}. 令 g(x)=ln⁡x4xg(x)=\frac{\ln x}{4^x}，则 g′(x)=4−x(1x−ln⁡4ln⁡x)>0g'(x)=4^{-x}\left(\frac1x-\ln4\ln x\right)>0 在 0<x⩽120<x\leqslant\frac12 上成立，所以 g(x)⩽g(12)=−12ln⁡2=−ln⁡2g(x)\leqslant g(\frac12)=-\frac12\ln2=-\ln\sqrt2. 因此需且只需 ln⁡a>−ln⁡2\ln a>-\ln\sqrt2，即 22<a<1\frac{\sqrt2}{2}<a<1，应选 B. \end{solution}
A.
(0,22)\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
B.
(22,1)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)
C.
(1,2)(1, \sqrt{2})
D.
(2,2)(\sqrt{2}, 2)

2012 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12数列★★★★☆
数列 {an}\{a_{n}\} 满足 an+1+(−1)nan=2n−1a_{n + 1} + (-1)^{n}a_{n} = 2n - 1，则 {an}\{a_{n}\} 的前 6060 项和为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 当 n=2k−1n=2k-1 时，递推式为 a2k−a2k−1=4k−3a_{2k}-a_{2k-1}=4k-3；当 n=2kn=2k 时，递推式为 a2k+1+a2k=4k−1a_{2k+1}+a_{2k}=4k-1. 令 uk=a2k−1u_k=a_{2k-1}，则由前式得 a2k=uk+4k−3a_{2k}=u_k+4k-3，代入后式得 uk+1=2−uku_{k+1}=2-u_k. 于是 uk=a1u_k=a_1（kk 为奇数），uk=2−a1u_k=2-a_1（kk 为偶数）. 对每个 j=1j=1，22，…\ldots，1515，有 a4j−3+a4j−2+a4j−1+a4j=16j−6a_{4j-3}+a_{4j-2}+a_{4j-1}+a_{4j}=16j-6. 所以 ∑n=160an=∑j=115(16j−6)=16⋅15⋅162−6⋅15=1830\sum_{n=1}^{60}a_n=\sum_{j=1}^{15}(16j-6)=16\cdot\frac{15\cdot16}{2}-6\cdot15=1830，应选 D. \end{solution}
A.
36903690
B.
36603660
C.
18451845
D.
18301830

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16函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=(x+1)2+sin⁡xx2+1f(x) = \frac{(x + 1)^2 + \sin x}{x^2 + 1} 的最大值为 MM，最小值为 mm，则 M+m=M + m =______.
\begin{answer} 2 \end{answer}
\begin{solution} 将函数化为 f(x)=1+2x+sin⁡xx2+1f(x)=1+\dfrac{2x+\sin x}{x^2+1}. 令 g(x)=2x+sin⁡xx2+1g(x)=\dfrac{2x+\sin x}{x^2+1}，则 g(−x)=−g(x)g(-x)=-g(x)，所以 gg 的最大值与最小值互为相反数. 函数 gg 连续且当 ∣x∣→+∞|x|\to+\infty 时趋于 00，故其最大值、最小值存在. 若分别记为 GG、−G-G，则 M=1+GM=1+G，m=1−Gm=1-G，从而 M+m=2M+m=2. \end{solution}

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20解析几何★★★★☆
设抛物线 C:x2=2pyC: x^{2} = 2py（p>0p > 0）的焦点为 FF，准线为 ll，AA 为 CC 上一点，已知以 FF 为圆心，FAFA 为半径的圆 FF 交 ll 于 BB，DD 两点.
(1) 若 ∠BFD=90∘\angle BFD = 90^{\circ}，△ABD\triangle ABD 的面积为 424\sqrt{2}，求 pp 的值及圆 FF 的方程； (2) 若 AA，BB，FF 三点在同一直线 mm 上，直线 nn 与 mm 平行，且 nn 与 CC 只有一个公共点，求坐标原点到 mm，nn 距离的比值.

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23解析几何★★★★☆
已知曲线 C1C_1 的参数方程是
{x=2cos⁡φ,y=3sin⁡φ,\begin{cases} x = 2\cos \varphi,\\ y = 3\sin \varphi, \end{cases}
（φ\varphi 是参数）以坐标原点为极点，xx 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程是 ρ=2\rho = 2，正方形 ABCDABCD 的顶点都在 C2C_2 上，且 AA，BB，CC，DD 依逆时针次序排列，点 AA 的极坐标为 (2,π3)\left(2, \frac{\pi}{3}\right).
(1) 求点 AA，BB，CC，DD 的直角坐标； (2) 设 PP 为 C1C_{1} 上任意一点，求 ∣PA∣2+∣PB∣2+∣PC∣2+∣PD∣2|PA|^{2} + |PB|^{2} + |PC|^{2} + |PD|^{2} 的取值范围.

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