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10函数与初等函数★★★★☆
若函数 f(x)=log⁡a(x3−ax)f(x)=\log_a(x^3-ax)（a>0a>0，a≠1a\ne1）在区间 (−12,0)\left(-\dfrac12,0\right) 内单调递增，则 aa 的取值范围是（\quad）
A.
[14,1)\left[\dfrac14,1\right)
B.
[34,1)\left[\dfrac34,1\right)
C.
(94,+∞)\left(\dfrac94,+\infty\right)
D.
(1,94)\left(1,\dfrac94\right)

2005 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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18数列★★★★☆
已知 un=an+an−1b+an−2b2+⋯+abn−1+bnu_n=a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\cdots+ab^{n-1}+b^n （n∈N∗n\in\mathbb N^*， a>0\ a>0， b>0\ b>0）.
(1) 当 a=ba=b 时，求数列 {un}\{u_n\} 的前 nn 项和 SnS_n； (2) 求 lim⁡n→∞unun−1\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{u_{n-1}}.

2005 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在斜三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中， ∠A1AB=∠A1AC\angle A_1AB=\angle A_1AC，AB=ACAB=AC，A1A=A1B=aA_1A=A_1B=a，侧面 B1BCC1B_1BCC_1 与底面 ABCABC 所成的二面角为 120∘120^\circ，EE，FF 分别是棱 B1C1B_1C_1，A1AA_1A 的中点.
(1) 求 A1AA_1A 与底面 ABCABC 所成的角； (2) 证明 A1E∥平面 B1FCA_1E\parallel\text{平面 }B_1FC； (3) 求经过 A1A_1，AA，BB，CC 四点的球的体积.

2005 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
某人在一山坡 PP 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 BC=80 米BC=80\text{ 米}，塔所在的山高 OB=220 米OB=220\text{ 米}，OA=200 米OA=200\text{ 米}. 图中所示的山坡可视为直线 ll 且点 PP 在直线 ll 上，ll 与水平地面的夹角为 α\alpha，tan⁡α=12\tan\alpha=\dfrac12. 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 ∠BPC\angle BPC 最大？（不计此人的身高）

2005 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
抛物线 CC 的方程为 y=ax2y=ax^2（a<0a<0），过抛物线 CC 上一点 P(x0,y0)P(x_0,y_0)（x0≠0x_0\ne0）作斜率为 k1k_1，k2k_2 的两条直线分别交抛物线 CC 于 A(x1,y1)A(x_1,y_1)，B(x2,y2)B(x_2,y_2) 两点（PP，AA，BB 三点互不相同）， 且满足 k2+λk1=0k_2+\lambda k_1=0（λ≠0\lambda\ne0，λ≠−1\lambda\ne-1）.
(1) 求抛物线 CC 的焦点坐标和准线方程； (2) 设直线 ABAB 上一点 MM，满足 BM→=λMA→\overrightarrow{BM}=\lambda\overrightarrow{MA}， 证明线段 PMPM 的中点在 yy 轴上； (3) 当 λ=1\lambda=1 时，若点 PP 的坐标为 (1,−1)(1,-1)，求 ∠PAB\angle PAB 为钝角时点 AA 的纵坐标 y1y_1 的取值范围.

2005 · 天津 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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