已知 $x$，$y$ 满足约束条件 当目标函数 $z = ax + by$（$a > 0$，$b > 0$）在该约束条件下取到最小值 $2\sqrt{5}$ 时，$a^2 + b^2$ 的最小值为（ ）

已知函数 $y = f(x)$（$x \in \mathbf{R}$）. 对函数 $y = g(x)$ （$x \in I$），定义 $g(x)$ 关于 $f(x)$ 的“对称函数”为函数 $y = h(x)$ （$x \in I$），$y = h(x)$ 满足：对任意 $x \in I$，两个点 $(x, h(x))$，$(x, g(x))$ 关于点 $(x, f(x))$ 对称. 若 $h(x)$ 是 $g(x) = \sqrt{4 - x^2}$ 关于 $f(x) = 3x + b$ 的“对称函数”，且 $h(x) > g(x)$ 恒成立，则实数 $b$ 的取值范围是______.

设函数 $f(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{x^2} - k\left(\frac{2}{x} + \ln x\right)$ （$k$ 为常数，$\mathrm{e} = 2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数）.

(1) 当 $k \leqslant 0$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间； (2) 若函数 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 内存在两个极值点，求 $k$ 的取值范围.