已知长方形的四个顶点 $A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,1)$ 和 $D(0,1)$，一质点从 $AB$ 的中点 $P_0$ 沿与 $AB$ 的夹角 $\theta$ 的方向射到 $BC$ 上的点 $P_1$ 后，依次反射到 $CD$，$DA$ 和 $AB$ 上的点 $P_2$，$P_3$ 和 $P_4$（入射角等于反射角），设 $P_4$ 的坐标为 $(x_4,0)$，若 $1 < x_4 < 2$，则 $\tan \theta$ 的取值范围是（ ）

某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图）. 现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.

设 $a_0$ 为常数，且 $a_n = 3^{n-1} - 2a_{n-1}$（$n \in \mathbf{N}^*$）.

(1) 证明对任意 $n \geqslant 1$，$a_n = \frac{1}{5} \bigl[3^n + (-1)^{n-1} \cdot 2^n\bigr] + (-1)^n \cdot 2^n a_0$； (2) 假设对任意 $n \geqslant 1$ 有 $a_n > a_{n-1}$，求 $a_0$ 的取值范围.

已知常数 $a > 0$，向量 $\boldsymbol{c} = (0, a)$，$\boldsymbol{i} = (1, 0)$. 经过原点 $O$ 以 $\boldsymbol{c} + \lambda \boldsymbol{i}$ 为方向向量的直线与经过定点 $A(0, a)$ 以 $\boldsymbol{i} - 2\lambda \boldsymbol{c}$ 为方向向量的直线相交于 $P$，其中 $\lambda \in \mathbf{R}$. 试问：是否存在两个定点 $E$，$F$，使得 $|PE| + |PF|$ 为定值. 若存在，求出 $E$，$F$ 的坐标；若不存在，说明理由.