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01函数与初等函数★★☆☆☆
与曲线 y=1x−1y = \frac{1}{x - 1} 关于原点对称的曲线为（ ）
A.
y=11+xy = \frac{1}{1 + x}
B.
y=−11+xy = -\frac{1}{1 + x}
C.
y=11−xy = \frac{1}{1 - x}
D.
y=−11−xy = -\frac{1}{1 - x}

2003 · 辽宁 · 第 1 题 · 选择题

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02三角函数★★☆☆☆
已知 x∈(−π2,0)x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)，cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5}，则 tan⁡2x=\tan 2x =（ ）
A.
724\frac{7}{24}
B.
−724-\frac{7}{24}
C.
247\frac{24}{7}
D.
−247-\frac{24}{7}

2003 · 辽宁 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★★☆☆☆
1−3i(3+i)2=\frac{1 - \sqrt{3}\mathrm{i}}{(\sqrt{3} + \mathrm{i})^2} =（ ）
A.
14+34i\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{i}
B.
−14−34i-\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{i}
C.
12+32i\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
D.
−12−32i-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}

2003 · 辽宁 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
已知四边形 ABCDABCD 是菱形，点 PP 在对角线 ACAC 上（不包括端点 AA，CC），则 AP→=\overrightarrow{AP} =（ ）
A.
λ(AB→+AD→)\lambda (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})，λ∈(0,1)\lambda \in (0,1)
B.
λ(AB→+BC→)\lambda (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC})，λ∈(0,22)\lambda \in \left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
C.
λ(AB→−AD→)\lambda (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD})，λ∈(0,1)\lambda \in (0,1)
D.
λ(AB→−BC→)\lambda (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC})，λ∈(0,22)\lambda \in \left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

2003 · 辽宁 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x)={2−x−1,x⩽0,x12,x>0,f(x) = \begin{cases} 2^{-x} - 1, & x \leqslant 0,\\ x^{\frac{1}{2}}, & x > 0, \end{cases}
若 f(x0)>1f(x_0) > 1，则 x0x_0 的取值范围是（ ）
A.
(−1,1)(-1, 1)
B.
(−1,+∞)(-1, +\infty)
C.
(−∞,−2)∪(0,+∞)(-\infty, -2) \cup (0, +\infty)
D.
(−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)

2003 · 辽宁 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
等差数列 {an}\{a_n\} 中，已知 a1=13a_1 = \frac{1}{3}，a2+a5=4a_2 + a_5 = 4，an=33a_n = 33，则 nn 为（ ）
A.
48
B.
49
C.
50
D.
51

2003 · 辽宁 · 第 6 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 y=ln⁡x+1x−1y = \ln \frac{x + 1}{x - 1}，x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty) 的反函数为（ ）
A.
y=ex−1ex+1y = \frac{\mathrm{e}^{x} - 1}{\mathrm{e}^{x} + 1}，x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
B.
y=ex+1ex−1y = \frac{\mathrm{e}^{x} + 1}{\mathrm{e}^{x} - 1}，x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
C.
y=ex−1ex+1y = \frac{\mathrm{e}^{x} - 1}{\mathrm{e}^{x} + 1}，x∈(−∞,0)x \in (-\infty, 0)
D.
y=ex+1ex−1y = \frac{\mathrm{e}^{x} + 1}{\mathrm{e}^{x} - 1}，x∈(−∞,0)x \in (-\infty, 0)

2003 · 辽宁 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
棱长为 aa 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）
A.
a33\frac{a^3}{3}
B.
a34\frac{a^3}{4}
C.
a36\frac{a^3}{6}
D.
a312\frac{a^3}{12}

2003 · 辽宁 · 第 8 题 · 选择题

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09导数及其应用★★★☆☆
设 a>0a > 0，f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c. 曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 P(x0,f(x0))P(x_0, f(x_0)) 处切线的倾斜角的取值范围为 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right]，则 PP 到曲线 y=f(x)y = f(x) 对称轴距离的取值范围为（ ）
A.
[0,1a]\left[0, \frac{1}{a}\right]
B.
[0,12a]\left[0, \frac{1}{2a}\right]
C.
[0,∣b2a∣]\left[0, \left|\frac{b}{2a}\right|\right]
D.
[0,∣b−12a∣]\left[0, \left|\frac{b - 1}{2a}\right|\right]

2003 · 辽宁 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F(7,0)F(\sqrt{7}, 0)，直线 y=x−1y = x - 1 与其相交于 MM，NN 两点，MNMN 中点的横坐标为 −23-\frac{2}{3}，则此双曲线的方程是（ ）
A.
x23−y24=1\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{4} = 1
B.
x24−y23=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1
C.
x25−y22=1\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{2} = 1
D.
x22−y25=1\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{5} = 1

2003 · 辽宁 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★★☆
已知长方形的四个顶点 A(0,0)A(0,0)，B(2,0)B(2,0)，C(2,1)C(2,1) 和 D(0,1)D(0,1)，一质点从 ABAB 的中点 P0P_0 沿与 ABAB 的夹角 θ\theta 的方向射到 BCBC 上的点 P1P_1 后，依次反射到 CDCD，DADA 和 ABAB 上的点 P2P_2，P3P_3 和 P4P_4（入射角等于反射角），设 P4P_4 的坐标为 (x4,0)(x_4,0)，若 1<x4<21 < x_4 < 2，则 tan⁡θ\tan \theta 的取值范围是（ ）
A.
(13,1)\left(\frac{1}{3},1\right)
B.
(13,23)\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)
C.
(25,12)\left(\frac{2}{5},\frac{1}{2}\right)
D.
(25,23)\left(\frac{2}{5},\frac{2}{3}\right)

2003 · 辽宁 · 第 11 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
一个四面体的所有棱长都为 2\sqrt{2}，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A.
3π3\pi
B.
4π4\pi
C.
33π3\sqrt{3}\pi
D.
6π6\pi

2003 · 辽宁 · 第 12 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2−12x)9\left(x^{2} - \frac{1}{2x}\right)^{9} 的展开式中 x9x^{9} 系数是______.

2003 · 辽宁 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★☆☆☆☆
某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆. 为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______，______，______辆.

2003 · 辽宁 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图）. 现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.

2003 · 辽宁 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
对于四面体 ABCDABCD，给出下列四个命题：
① 若 AB=ACAB = AC，BD=CDBD = CD，则 BC⊥ADBC \perp AD； ② 若 AB=CDAB = CD，AC=BDAC = BD，则 BC⊥ADBC \perp AD； ③ 若 AB⊥ACAB \perp AC，BD⊥CDBD \perp CD，则 BC⊥ADBC \perp AD； ④ 若 AB⊥CDAB \perp CD，AC⊥BDAC \perp BD，则 BC⊥ADBC \perp AD.
其中真命题的序号是______.

2003 · 辽宁 · 第 16 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★☆☆
已知正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，AB=1AB = 1，AA1=2AA_{1} = 2，EE 为 CC1CC_{1} 中点，FF 为 BD1BD_{1} 中点.
(1) 证明： EFEF 为 BD1BD_{1} 与 CC1CC_{1} 的公垂线； (2) 求点 D1D_{1} 到面 BDEBDE 的距离.

2003 · 辽宁 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin (\omega x + \varphi)（ω>0\omega > 0，0⩽φ⩽π0 \leqslant \varphi \leqslant \pi）是 R\mathbf{R} 上的偶函数，其图象关于点 M(3π4,0)M\left(\frac{3\pi}{4}, 0\right) 对称，且在区间 [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] 上是单调函数. 求 ω\omega 和 φ\varphi 的值.

2003 · 辽宁 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
设 a>0a > 0，求函数 f(x)=x−ln⁡(x+a)f(x) = \sqrt{x} - \ln (x + a)，x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty) 的单调区间.

2003 · 辽宁 · 第 19 题 · 解答题

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20概率与统计★★★☆☆
AA，BB 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，AA 队队员是 A1A_1，A2A_2，A3A_3，BB 队队员是 B1B_1，B2B_2，B3B_3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
现按表中对阵方式出场，每场胜队得 1 分，负队得 0 分，设 AA 队，BB 队最后所得总分分别为 ξ\xi，η\eta.
(1) 求 ξ\xi，η\eta 的概率分布； (2) 求 E(ξ)E(\xi)，E(η)E(\eta).

2003 · 辽宁 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
设 a0a_0 为常数，且 an=3n−1−2an−1a_n = 3^{n-1} - 2a_{n-1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.
(1) 证明对任意 n⩾1n \geqslant 1，an=15[3n+(−1)n−1⋅2n]+(−1)n⋅2na0a_n = \frac{1}{5} \bigl[3^n + (-1)^{n-1} \cdot 2^n\bigr] + (-1)^n \cdot 2^n a_0； (2) 假设对任意 n⩾1n \geqslant 1 有 an>an−1a_n > a_{n-1}，求 a0a_0 的取值范围.

2003 · 辽宁 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
已知常数 a>0a > 0，向量 c=(0,a)\boldsymbol{c} = (0, a)，i=(1,0)\boldsymbol{i} = (1, 0). 经过原点 OO 以 c+λi\boldsymbol{c} + \lambda \boldsymbol{i} 为方向向量的直线与经过定点 A(0,a)A(0, a) 以 i−2λc\boldsymbol{i} - 2\lambda \boldsymbol{c} 为方向向量的直线相交于 PP，其中 λ∈R\lambda \in \mathbf{R}. 试问：是否存在两个定点 EE，FF，使得 ∣PE∣+∣PF∣|PE| + |PF| 为定值. 若存在，求出 EE，FF 的坐标；若不存在，说明理由.

2003 · 辽宁 · 第 22 题 · 解答题

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