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19立体几何初步★★★★☆
设 aa，bb 是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是（ ）
A.
经过直线 aa 有且只有一个平面平行于直线 bb
B.
经过直线 aa 有且只有一个平面垂直于直线 bb
C.
存在分别经过直线 aa 和 bb 的两个互相平行的平面
D.
存在分别经过直线 aa 和 bb 的两个互相垂直的平面

1990 · 上海 · 第 19 题 · 选择题

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22三角函数★★★★☆
求方程 5cos⁡x+cos⁡2x+sin⁡x=0\sqrt{5}\cos x+\cos 2x+\sin x=0 在 [0,2π)[0,2\pi) 上的解.

1990 · 上海 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★★☆
已知点 PP 在直线 x=2x=2 上移动，直线 ll 通过原点且与 OPOP 垂直，通过点 A(1,0)A(1,0) 及点 PP 的直线 mm 和直线 ll 交于点 QQ. 求点 QQ 的轨迹方程，并指出该轨迹的名称和它的焦点坐标.

1990 · 上海 · 第 23 题 · 解答题

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24解析几何★★★★☆
已知直线 l:x−ny=0l:x-ny=0（n∈Nn\in\mathbf{N}）；圆 M:(x+1)2+(y+1)2=1M:(x+1)^2+(y+1)^2=1；抛物线 Φ:y=(x−1)2\Phi:y=(x-1)^2. 又 ll 与 MM 交于点 AA，BB；ll 与 Φ\Phi 交于点 CC，DD. 求 lim⁡n→∞∣AB∣2∣CD∣2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\left|AB\right|^2}{\left|CD\right|^2}.

1990 · 上海 · 第 24 题 · 解答题

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25不等式★★★★☆
关于实数 xx 的不等式 ∣x−(a+1)22∣≤(a−1)22\left|x-\frac{(a+1)^2}{2}\right|\le\frac{(a-1)^2}{2} 与 x2−3(a+1)x+2(3a+1)≤0x^2-3(a+1)x+2(3a+1)\le0（其中 a∈Ra\in\mathbf{R}）的解集依次记为 AA 与 BB. 求使 A⊆BA\subseteq B 的 aa 的取值范围.

1990 · 上海 · 第 25 题 · 解答题

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26立体几何初步★★★★☆
如图，平面 α\alpha，β\beta 相交于直线 MNMN，点 AA 在平面 α\alpha 上，点 BB 在平面 β\beta 上，点 CC 在直线 MNMN 上，∠ACM=∠BCN=45∘\angle ACM=\angle BCN=45^\circ，二面角 A−MN−BA-MN-B 是 60∘60^\circ，AC=1AC=1. 求：
(1) 点 AA 到平面 β\beta 的距离； (2) 二面角 A−BC−MA-BC-M 的大小（用反三角函数表示）.

1990 · 上海 · 第 26 题 · 解答题

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27复数★★★★☆
复平面上点 AA，BB 对应的复数分别为 z1=2z_1=2，z2=−3z_2=-3，点 PP 对应的复数为 zz，z−z1z−z2\frac{z-z_1}{z-z_2} 的辐角主值为 φ\varphi. 当点 PP 在以原点为圆心，11 为半径的上半圆周（不包括两个端点）上运动时，求 φ\varphi 的最小值.

1990 · 上海 · 第 27 题 · 解答题

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