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01函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=x+4x+2y=\frac{\sqrt{x+4}}{x+2} 的定义域是______.

1990 · 上海 · 第 1 题 · 填空题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=arcsin⁡xy=\arcsin x（x∈[−1,1]x\in[-1,1]）的反函数是______.

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03解析几何★☆☆☆☆
过点 (1,2)(1,2) 且与直线 2x+y−1=02x+y-1=0 平行的直线方程是______.

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04★☆☆☆☆
已知圆柱的轴截面是正方形，它的面积是 4 cm24\mathrm{~cm}^2， 那么这个圆柱的体积是______cm3\mathrm{cm}^3（结果中保留 π\pi）.

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05三角函数★☆☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 cos⁡A=−35\cos A=-\frac{3}{5}，则 sin⁡A2=\sin\frac{A}{2}=______.

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06复数★★☆☆☆
设复数 ω=cos⁡2π5+isin⁡2π5\omega=\cos\frac{2\pi}{5}+\mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{5}，则 ω+ω2+ω3+ω4+ω5\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5 的值是______.

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07立体几何初步★★☆☆☆
已知圆锥的中截面周长为 aa，母线长为 ll，则它的侧面积等于______.

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08计数原理与组合数学★☆☆☆☆
已知 (x+a)7(x+a)^7 的展开式中，x4x^4 的系数是 −280-280，则实数 a=a=______.

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09解析几何★★★☆☆
双曲线 2mx2−my2=22mx^2-my^2=2 的一条准线是 y=1y=1，则 m=m=______.

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
平面上，四条平行直线与另外五条平行直线互相垂直，则它的矩形共有______ 个（结果用数值表示）.

1990 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
圆的半径是 11，圆心的极坐标是 (1,0)(1,0)，则这个圆的极坐标方程是（ ）
A.
ρ=cos⁡θ\rho=\cos\theta
B.
ρ=sin⁡θ\rho=\sin\theta
C.
ρ=2cos⁡θ\rho=2\cos\theta
D.
ρ=2sin⁡θ\rho=2\sin\theta

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12函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 的定义域均为 R\mathbf{R}，“f(x)f(x)，g(x)g(x) 都是奇函数”是“f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 的积是偶函数”的（ ）
A.
必要条件但非充分条件
B.
充分条件但非必要条件
C.
充分必要条件
D.
非充分条件也非必要条件

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13平面向量★★☆☆☆
设点 PP 在有向线段 AB→\overrightarrow{AB} 的延长线上，PP 分 AB→\overrightarrow{AB} 所成的比为 λ\lambda，则（ ）
A.
λ<−1\lambda<-1
B.
−1<λ<0-1<\lambda<0
C.
0<λ<10<\lambda<1
D.
λ>1\lambda>1

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14数列★★☆☆☆
设 2a=32^a=3，2b=62^b=6，2c=122^c=12，则数列 aa，bb，cc（ ）
A.
是等差数列但不是等比数列
B.
是等比数列但不是等差数列
C.
既是等差数列又是等比数列
D.
既不是等差数列又不是等比数列

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15三角函数★★☆☆☆
设 α\alpha 角属于第二象限，且 ∣cos⁡α2∣=−cos⁡α2\left|\cos\frac{\alpha}{2}\right|=-\cos\frac{\alpha}{2}，则 α2\frac{\alpha}{2} 角属于（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

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16立体几何初步★★☆☆☆
设过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别是 aa，bb，cc，那么这个长方体的对角线长是（ ）
A.
a2+b2+c2\sqrt{a^2+b^2+c^2}
B.
a2+b2+c22\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}
C.
a2+b2+c23\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}
D.
a2+b2+c22\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}

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17三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=atan⁡xaf(x)=a\tan\frac{x}{a} 的最小正周期是（ ）
A.
πa\pi a
B.
π∣a∣\pi|a|
C.
πa\frac{\pi}{a}
D.
π∣a∣\frac{\pi}{|a|}

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18指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 1<x<d1<x<d，令 a=(log⁡dx)2a=\left(\log_d x\right)^2，b=log⁡d(x2)b=\log_d\left(x^2\right)，c=log⁡d(log⁡dx)c=\log_d\left(\log_d x\right)，则（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
a<c<ba<c<b
C.
c<b<ac<b<a
D.
c<a<bc<a<b

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19立体几何初步★★★★☆
设 aa，bb 是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是（ ）
A.
经过直线 aa 有且只有一个平面平行于直线 bb
B.
经过直线 aa 有且只有一个平面垂直于直线 bb
C.
存在分别经过直线 aa 和 bb 的两个互相平行的平面
D.
存在分别经过直线 aa 和 bb 的两个互相垂直的平面

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20三角函数★★★☆☆
下列四个函数中，在定义域内不具有单调性的函数是（ ）
A.
y=cot⁡(arccos⁡x)y=\cot\left(\arccos x\right)
B.
y=tan⁡(arcsin⁡x)y=\tan\left(\arcsin x\right)
C.
y=sin⁡(arctan⁡x)y=\sin\left(\arctan x\right)
D.
y=cos⁡(arctan⁡x)y=\cos\left(\arctan x\right)

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21指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 log⁡5(x2+2x−2)=0\log_5(x^2+2x-2)=0，2log⁡5(x+2)−log⁡5y+12=02\log_5(x+2)-\log_5 y+\frac{1}{2}=0，求 yy 的值.

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22三角函数★★★★☆
求方程 5cos⁡x+cos⁡2x+sin⁡x=0\sqrt{5}\cos x+\cos 2x+\sin x=0 在 [0,2π)[0,2\pi) 上的解.

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23解析几何★★★★☆
已知点 PP 在直线 x=2x=2 上移动，直线 ll 通过原点且与 OPOP 垂直，通过点 A(1,0)A(1,0) 及点 PP 的直线 mm 和直线 ll 交于点 QQ. 求点 QQ 的轨迹方程，并指出该轨迹的名称和它的焦点坐标.

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24解析几何★★★★☆
已知直线 l:x−ny=0l:x-ny=0（n∈Nn\in\mathbf{N}）；圆 M:(x+1)2+(y+1)2=1M:(x+1)^2+(y+1)^2=1；抛物线 Φ:y=(x−1)2\Phi:y=(x-1)^2. 又 ll 与 MM 交于点 AA，BB；ll 与 Φ\Phi 交于点 CC，DD. 求 lim⁡n→∞∣AB∣2∣CD∣2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\left|AB\right|^2}{\left|CD\right|^2}.

1990 · 上海 · 第 24 题 · 解答题

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25不等式★★★★☆
关于实数 xx 的不等式 ∣x−(a+1)22∣≤(a−1)22\left|x-\frac{(a+1)^2}{2}\right|\le\frac{(a-1)^2}{2} 与 x2−3(a+1)x+2(3a+1)≤0x^2-3(a+1)x+2(3a+1)\le0（其中 a∈Ra\in\mathbf{R}）的解集依次记为 AA 与 BB. 求使 A⊆BA\subseteq B 的 aa 的取值范围.

1990 · 上海 · 第 25 题 · 解答题

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