某人定制了一批地砖. 每块地砖（如图 1 所示）是边长为 $0.4\text{ 米}$ 的正方形 $ABCD$，点 $E$，$F$ 分别在边 $BC$ 和 $CD$ 上，$\triangle CFE$，$\triangle ABE$ 和四边形 $AEFD$ 均由单一材料制成，制成 $\triangle CFE$，$\triangle ABE$ 和四边形 $AEFD$ 的三种材料的每平方米价格之比依次为 $3:2:1$. 若将此种地砖按图 2 所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形 $EFGH$.

(1) 求证：四边形 $EFGH$ 是正方形； (2) $E$，$F$ 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

通常用 $a$，$b$，$c$ 分别表示 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A$，$B$，$C$ 所对边的边长，$R$ 表示 $\triangle ABC$ 的外接圆半径.

(1) 如图，在以 $O$ 为圆心，半径为 $2$ 的 $\odot O$ 中，$BC$ 和 $BA$ 是 $\odot O$ 的弦，其中 $BC=2$，$\angle ABC=45^\circ$，求弦 $AB$ 的长； (2) 在 $\triangle ABC$ 中，若 $\angle C$ 是钝角，求证：$a^2+b^2<4R^2$； (3) 给定三个正实数 $a$，$b$，$R$，其中 $b\leqslant a$. 问：$a$，$b$，$R$ 满足怎样的关系时，以 $a$，$b$ 为边长，$R$ 为外接圆半径的 $\triangle ABC$ 不存在，存在一个或存在两个（全等三角形算作同一个）？在 $\triangle ABC$ 存在的情况下，用 $a$，$b$，$R$ 表示 $c$.

我们在下面的表格内填写数值：先将第 1 行的所有空格填上 $1$；再把一个首项为 $1$，公比为 $q$ 的数列 $\{a_n\}$ 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格.

(1) 设第 2 行的数依次为 $B_1$，$B_2$，$\cdots$，$B_n$，试用 $n$，$q$ 表示 $B_1+B_2+\cdots+B_n$ 的值； (2) 设第 3 列的数依次为 $c_1$，$c_2$，$c_3$，$\cdots$，$c_n$，求证：对于任意非零实数 $q$，$c_1+c_3>2c_2$； (3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究（只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）：

(i) 能否找到 $q$ 的值，使得第二问中的数列 $c_1$，$c_2$，$c_3$，$\cdots$，$c_n$ 的前 $m$ 项 $c_1$，$c_2$，$c_3$，$\cdots$，$c_m$（$m\geqslant3$）成为等比数列？若能找到，$m$ 的值有多少个？若不能找到，说明理由； (ii) 能否找到 $q$ 的值，使得填完表格后，除第 1 列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由.