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01数列★☆☆☆☆
计算 lim⁡n→∞2n2+13n(n+1)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}+1}{3n(n+1)}=______.

2007 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02复数★★☆☆☆
若关于 xx 的一元二次实系数方程 x2+px+q=0x^{2}+px+q=0 有一个根为 1+i1+\mathrm{i}（i\mathrm{i} 是虚数单位），则 q=q=______.

2007 · 上海 · 春季 · 第 2 题 · 填空题

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03不等式★☆☆☆☆
若关于 xx 的不等式 x−ax+1>0\frac{x-a}{x+1}>0 的解集为 (−∞,−1)∪(4,+∞)(-\infty,-1)\cup(4,+\infty)，则实数 a=a=______.

2007 · 上海 · 春季 · 第 3 题 · 填空题

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04三角函数★★☆☆☆
函数 y=(sin⁡x+cos⁡x)2y=(\sin x+\cos x)^2 的最小正周期为______.

2007 · 上海 · 春季 · 第 4 题 · 填空题

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05函数与初等函数★☆☆☆☆
设函数 y=f(x)y=f(x) 是奇函数. 若 f(−2)+f(−1)−3=f(1)+f(2)+3f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则 f(1)+f(2)=f(1)+f(2)=______.

2007 · 上海 · 春季 · 第 5 题 · 填空题

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06解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，若抛物线 y2=4xy^2=4x 上的点 PP 到该抛物线的焦点的距离为 66，则点 PP 的横坐标 x=x=______.

2007 · 上海 · 春季 · 第 6 题 · 填空题

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07解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，若曲线 x=4−y2x=\sqrt{4-y^2} 与直线 x=mx=m 有且只有一个公共点，则实数 m=m=______.

2007 · 上海 · 春季 · 第 7 题 · 填空题

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08平面向量★★☆☆☆
若向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=2|\boldsymbol{a}|=\sqrt{2}，∣b∣=1|\boldsymbol{b}|=1，a⋅(a+b)=1\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=1，则向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角的大小为______.

2007 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题

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09指数函数与对数函数★★☆☆☆
若 x1x_1，x2x_2 为方程 2x=(12)−1x+12^x=\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{x}+1} 的两个实数解，则 x1+x2=x_1+x_2=______.

2007 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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10概率与统计★★☆☆☆
在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多 1212 人，从这些教师中随机挑选一人表演节目. 若选到男教师的概率为 920\frac{9}{20}，则参加联欢会的教师共有______人.

2007 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★☆☆☆
函数
y={x2+1,x⩾0,2x,x<0y= \begin{cases} x^2+1, & x\geqslant 0,\\ \frac{2}{x}, & x<0 \end{cases}
的反函数是______.

2007 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12集合与逻辑基础★★☆☆☆
若集合 A={1,m2}A=\{1,m^2\}，B={2,4}B=\{2,4\}，则“m=2m=2”是“A∩B={4}A\cap B=\{4\}”的（ ）
A.
充分不必要条件.
B.
必要不充分条件.
C.
充要条件.
D.
既不充分也不必要条件.

2007 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 选择题

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13平面向量★★☆☆☆
如图，平面内的两条相交直线 OP1OP_1 和 OP2OP_2 将该平面分割成四个部分 I\mathrm{I}，II\mathrm{II}，III\mathrm{III}，IV\mathrm{IV}（不包括边界）. 若 OP→=aOP1→+bOP2→\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{OP_1}+b\overrightarrow{OP_2}，且点 PP 落在第 III\mathrm{III} 部分，则实数 aa，bb 满足（ ）
A.
a>0a>0，b>0b>0.
B.
a>0a>0，b<0b<0.
C.
a<0a<0，b>0b>0.
D.
a<0a<0，b<0b<0.

2007 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 选择题

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14导数及其应用★★☆☆☆
下列四个函数中，图象如图所示的只能是（ ）
A.
y=x+lg⁡xy=x+\lg x.
B.
y=x−lg⁡xy=x-\lg x.
C.
y=−x+lg⁡xy=-x+\lg x.
D.
y=−x−lg⁡xy=-x-\lg x.

2007 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 选择题

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15不等式★★★☆☆
设 aa，bb 是正实数，以下不等式：
① ab>2aba+b\sqrt{ab}>\frac{2ab}{a+b}； ② a>∣a−b∣−ba>|a-b|-b； ③ a2+b2>4ab−3b2a^2+b^2>4ab-3b^2； ④ ab+2ab>2ab+\frac{2}{ab}>2.
恒成立的序号为（ ）
A.
\circled1\circled{1}，\circled3\circled{3}.
B.
\circled1\circled{1}，\circled4\circled{4}.
C.
\circled2\circled{2}，\circled3\circled{3}.
D.
\circled2\circled{2}，\circled4\circled{4}.

2007 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在棱长为 22 的正方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD-A'B'C'D' 中，点 EE，FF 分别是 A′B′A'B' 和 ABAB 的中点，求异面直线 A′FA'F 与 CECE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

2007 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 解答题

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17解析几何★★★☆☆
求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题. 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为 44，侧棱长为 33，求该正四棱锥的体积”. 求出体积 163\frac{16}{3} 后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为 44，体积为 163\frac{16}{3}，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为 163\frac{16}{3}，求所有侧面面积之和的最小值”. 试给出问题“在平面直角坐标系 xOyxOy 中，求点 P(2,1)P(2,1) 到直线 3x+4y=03x+4y=0 的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.

2007 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★☆☆
如图，在直角坐标系 xOyxOy 中，设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左右两个焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过右焦点 F2F_2 且与 xx 轴垂直的直线 ll 与椭圆 CC 相交，其中一个交点为 M(2,1)M(\sqrt{2},1).
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设椭圆 CC 的一个顶点为 B(0,−b)B(0,-b)，直线 BF2BF_2 交椭圆 CC 于另一点 NN，求 △F1BN\triangle F_1BN 的面积.

2007 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★★☆
某人定制了一批地砖. 每块地砖（如图 1 所示）是边长为 0.4 米0.4\text{ 米} 的正方形 ABCDABCD，点 EE，FF 分别在边 BCBC 和 CDCD 上，△CFE\triangle CFE，△ABE\triangle ABE 和四边形 AEFDAEFD 均由单一材料制成，制成 △CFE\triangle CFE，△ABE\triangle ABE 和四边形 AEFDAEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为 3:2:13:2:1. 若将此种地砖按图 2 所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形 EFGHEFGH.
(1) 求证：四边形 EFGHEFGH 是正方形； (2) EE，FF 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

2007 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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20三角函数★★★★☆
通常用 aa，bb，cc 分别表示 △ABC\triangle ABC 的三个内角 AA，BB，CC 所对边的边长，RR 表示 △ABC\triangle ABC 的外接圆半径.
(1) 如图，在以 OO 为圆心，半径为 22 的 ⊙O\odot O 中，BCBC 和 BABA 是 ⊙O\odot O 的弦，其中 BC=2BC=2，∠ABC=45∘\angle ABC=45^\circ，求弦 ABAB 的长； (2) 在 △ABC\triangle ABC 中，若 ∠C\angle C 是钝角，求证：a2+b2<4R2a^2+b^2<4R^2； (3) 给定三个正实数 aa，bb，RR，其中 b⩽ab\leqslant a. 问：aa，bb，RR 满足怎样的关系时，以 aa，bb 为边长，RR 为外接圆半径的 △ABC\triangle ABC 不存在，存在一个或存在两个（全等三角形算作同一个）？在 △ABC\triangle ABC 存在的情况下，用 aa，bb，RR 表示 cc.

2007 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
我们在下面的表格内填写数值：先将第 1 行的所有空格填上 11；再把一个首项为 11，公比为 qq 的数列 {an}\{a_n\} 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格.
(1) 设第 2 行的数依次为 B1B_1，B2B_2，⋯\cdots，BnB_n，试用 nn，qq 表示 B1+B2+⋯+BnB_1+B_2+\cdots+B_n 的值； (2) 设第 3 列的数依次为 c1c_1，c2c_2，c3c_3，⋯\cdots，cnc_n，求证：对于任意非零实数 qq，c1+c3>2c2c_1+c_3>2c_2； (3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究（只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）：
(i) 能否找到 qq 的值，使得第二问中的数列 c1c_1，c2c_2，c3c_3，⋯\cdots，cnc_n 的前 mm 项 c1c_1，c2c_2，c3c_3，⋯\cdots，cmc_m（m⩾3m\geqslant3）成为等比数列？若能找到，mm 的值有多少个？若不能找到，说明理由； (ii) 能否找到 qq 的值，使得填完表格后，除第 1 列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由.

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